Mon activité de recherche se développe principalement dans deux directions : l'étude mathématique des équations de la mécanique des fluides, et la dynamique des ondes non linéaires dans les systèmes de réaction-diffusion ou les équations dispersives. Je m'intéresse également à la théorie spectrale des opérateurs non auto-adjoints, ainsi qu'à des modèles de croissance de domaines.

I. Mécanique des fluides

Mon activité dans ce domaine s'est développée avant tout dans le cadre d'une longue collaboration avec C.E. Wayne (Boston), qui a démarré en été 2000. Nos premiers travaux sont consacrés au comportement asymptotique en temps des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles dans R² (ici) ou R³ (là). L'originalité de notre approche consiste à étudier l'équation pour le tourbillon associé au champ de vitesse du fluide, dans des variables autosimilaires. En supposant que ce tourbillon décroît suffisamment vite à l'infini (en espace), nous contruisons au voisinage de la solution nulle des variétés invariantes de dimension ou de codimension finie, qui permettent de décrire précisément le comportement asymptotique en temps de toutes les petites solutions. Ceci nous permet, par exemple, de caractériser l'ensemble des solutions qui convergent vers zéro plus vite que t -(n+2)/4 en norme d'énergie, et de revisiter ainsi de façon originale des résultats de T. Miyakawa et M.E. Schonbek. Plus généralement, ces travaux (et ceux qui les ont suivis) illustrent l'intérêt et la puissance des méthodes de type "systèmes dynamiques" dans l'étude mathématique des équations de la mécanique des fluides.

Dans le cas bidimensionel, les résultats locaux obtenus précédemment ont été généralisés à toutes les solutions de l'équation de Navier-Stokes (ici). Sous la seule hypothèse que le tourbillon initial est intégrable dans le plan, nous montrons en effet que la solution de l'équation converge lorsque t tend vers l'infini vers une solution autosimilaire explicite, appelée tourbillon d'Oseen. Ce résultat assez frappant est obtenu par une étude détaillée de l'équation du tourbillon en variables autosimilaires. Notre contribution principale est la découverte d'une nouvelle fonction de Lyapunov du système : l'entropie relative de la distribution de vorticité par rapport à la distribution gaussienne du tourbillon d'Oseen. Judicieusement utilisée, cette fonction de Lyapunov permet d'éliminer complètement les hypothèses de petitesse limitant la portée des travaux de nos prédécesseurs (Y. Giga et T. Kambe 1988, A. Carpio 1994). Le résultat obtenu a d'importantes conséquences : il implique par exemple que les tourbillons d'Oseen sont les seules solutions autosimilaires de l'équation de Navier-Stokes dont la vorticité est intégrable, et que ces solutions sont stables pour toutes les valeurs du nombre de Reynolds de circulation. Par ailleurs, en étudiant l'opérateur linéarisé dans des espaces à poids, nous obtenons également des estimations précises de la vitesse de convergence vers le tourbillon d'Oseen, sous des hypothèses appropriées sur le tourbillon initial.

Il est bien connu que, dans les équations aux dérivées partielles possédant une invariance d'échelle, le comportement asymptotique en temps des solutions (et en particulier leur convergence vers des solutions autosimilaires) est lié au caractère bien posé du problème de Cauchy dans des espaces de fonctions peu régulières. Dans le cas de l'équation de Navier-Stokes dans le plan, l'espace naturel (invariant d'échelle) pour le tourbillon est l'espace des mesures finies sur R². L'existence de solutions dans ce cadre a été démontrée par G.-H. Cottet (1986), Y. Giga, T. Miyakawa et H. Osada (1988), ainsi que par T. Kato (1994). L'unicité, en revanche, n'était connue que pour des données initiales dont la partie atomique est suffisamment petite devant la viscosité. Or un sous-produit de nos résultats est l'unicité de la solution lorsque le tourbillon initial est une masse de Dirac, quelle que soit son amplitude (la solution en question est précisément le tourbillon d'Oseen). Dans un article en collaboration avec I. Gallagher (Paris 7), nous étendons ce résultat d'unicité au cas d'une mesure finie quelconque, et montrons donc que l'équation du tourbillon dans R² est globalement bien posée dans l'espace des mesures finies (ici). Ce travail répondait à une question ouverte depuis 18 ans, et constituait le premier résultat d'unicité à grandes données (pour l'équation de Navier-Stokes) dans un espace suffisamment grand pour contenir les données initiales de certaines solutions autosimilaires. Une démonstration alternative de l'unicité lorsque la donnée initiale est une masse de Dirac, basée sur des techniques de réarrangements symétriques, a été obtenue en collaboration avec I. Gallagher et P.-L. Lions (ici).

Une généralisation tridimensionnelle de ces travaux est l'étude de l'existence et de la stabilité des tourbillons de Burgers, qui interviennent fréquemment dans la modélisation des structures dissipatives en turbulence développée. Les tourbillons de Burgers sont des solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes incompressibles dans R³ en présence d'un "champ d'étirement". Ces solutions sont données par une formule explicite seulement dans le cas où le champ d'étirement est à symétrie cylindrique. L'existence de telles solutions dans le cas général a été établie formellement par Moffatt, Kida et Ohkitani (1994) et leur stabilité étudiée numériquement par Prochazka et Pullin (1995). Nous montrons rigoureusement l'existence de tourbillons de Burgers dans le cas faiblement asymétrique, pour toutes les valeurs du nombre de Reynolds de circulation, ainsi que leur stabilité vis-à-vis de perturbations bidimensionnelles (ici). D'autre part, lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment petit, nous montrons que la famille des tourbillons de Burgers asymétriques est "asymptotiquement stable avec déphasage" pour des perturbations tridimensionnelles dans un espace approprié (ici). Ces résultats constituent probablement les premiers travaux entièrement rigoureux consacrés à la stabilité des structures dissipatives en turbulence tridimensionnelle.

Les équations de Navier-Stokes se réduisent formellement aux équations d'Euler lorsque la viscosité cinématique du fluide tend vers zéro. D'un point de vue mathématique, il est intéresssant de savoir si les solutions des équations de Navier-Stokes convergent effectivement vers les solutions d'Euler (pour les mêmes données initiales) dans cette limite non visqueuse. La réponse est affirmative lorsqu'on considère des écoulements suffisamment réguliers dans un domaine sans bord. En présence de parois, la limite non visqueuse est extrêmement difficile à étudier, en raison des couches limites (de type Prandtl) qui peuvent se former près du bord. D'autre part, même en l'absence de parois, la limite non visqueuse présente des difficultés si l'on considère des données initiales peu régulières. Dans le cas d'un écoulement plan, on sait par exemple traiter le cas des poches de tourbillon, mais celui des nappes de tourbillon reste largement ouvert. De façon quelque peu surprenante, la limite non visqueuse peut être rigoureusement contrôlée dans le cas des toubillons ponctuels (voir ici). En effet, la forte singularité du champ de vitesse est "compensée" dans ce cas par la simplicité relative du système limite (le système des tourbillons ponctuels de Helmholtz-Kirchhoff). Cette étude, lourde et complexe techniquement, fournit une nouvelle dérivation rigoureuse du système des tourbillons ponctuels, et permet également de décrire précisément les déformations des tourbillons en interaction faible dans les fluides bidimensionnels, voir aussi (voir ici).

Les résultats de stabilité gloable des tourbillons d'Oseen décrits plus haut sont valables pour des solutions de l'équation de Navier-Stokes dans le plan R² tout entier. Une question très naturelle est de généraliser ces résultats au cas d'un domaine extérieur du plan. La difficulté principale de cette extension est qu'on ne peut plus utiliser aussi simplement l'équation pour le tourbillon, en raison du caractère non linéaire et non local de la condition au bord. Dans un travail en collaboration avec Y. Maekawa, nous avons partiellement résolu ce problème en montrant la stabilité globale des tourbillons d'Oseen en domaine extérieur sous une hypothèse de petitesse sur la circulation du fluide à l'infini (voir ici et là). Cette restriction regrettable est très probablement de nature technique, mais une nouvelle approche est nécessaire pour traiter le cas général.

Tous les résultats présentés jusqu'ici concernent des solutions des équations de Navier-Stokes "bien localisées en espace", dans la mesure où le tourbillon décroît suffisamment rapidement à l'infini. Plus généralement, on peut considérer des solutions des équations de Navier-Stokes dans R² pour lequel le tourbillon est seulement supposé borné, sans aucune hypothèse de décroissance à l'infini. On sait que le problème de Cauchy est globalement bien posé dans ce cadre, et un résultat récent de S. Zelik montre que la norme uniforme du champ de vitesse croît au plus linéairement en temps (voir ici). Dans une série de travaux avec S. Slijepcevic (ici et là), nous avons étudié en détail le cas où le champ de vitesse et la pression sont périodiques dans une direction de l'espace, et montré sous cette hypothèse que les solutions restent uniformément bornées. Nous obtenons également une description précise du comportement asymptotique en temps de ce cas. Notre approche repose sur des méthodes générales permettant d'étudier le comportement en grands temps des systèmes formellement gradients en domaine non borné (voir ici).

Mes travaux les plus récents en mécanique des fluides concernent les écoulements axisymétriques sans swirl. Dans un travail en collaboration avec V. Sverak, nous avons revisité le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes axisymétriques dans des espaces critiques (voir ici). Notre but est de montrer l'existence d'une solution unique dans cadre lorsque la donnée initiale est un filament tourbillonnaire de circulation arbitraire.

II. Dynamique des ondes non linéaires

Mon activité dans ce domaine est bien plus ancienne, et remonte à mon travail de thèse (1994). Elle s'est poursuivie jusqu'à ce jour de façon moins soutenue, et je décris ici quelques contributions plus ou moins récentes.

Stabilité des ondes progressives périodiques dans l'équation de Schrödinger non linéaire (I)

L'équation de Schrödinger non linéaire cubique à une dimension possède une famille à six paramètres de solutions quasi-périodiques de la forme u(x,t) = e^{i(kx - pt)} V(x - ct), où le profil V est une fonction périodique de son argument. Aux symétries près, ces ondes progressives peuvent être caractérisées par deux quantités réelles : la période du module du profil, et la variation de la phase de l'onde sur une période du module (exposant de Floquet). Dans un travail en commun avec M. Haragus (ici), nous montrons que la famille des ondes progressives périodiques de l'équation de Schrödinger défocalisante est orbitalement stable dans la classe des solutions ayant même période et même exposant de Floquet que l'onde initiale. La démonstration repose sur l'approche classique de la stabilité orbitale développée par Grillakis, Shatah et Strauss, et nécessite une analyse détaillée du système dynamique hamiltonien vérifié par le profil de l'onde. Le résultat s'applique également aux ondes progressives de l'équation focalisante, sous une condition de non-dégénérescence que nous vérifions analytiquement pour les ondes de petite amplitude et numériquement dans le cas général. Par ailleurs, nous montrons également (là) que les ondes progressives périodiques de petite amplitude sont spectralement stables (sans hypothèse de périodicité sur les perturbations) dans le cas défocalisant, et instables dans le cas focalisant. La démonstration consiste à étudier le spectre de Bloch de l'opérateur différentiel à coefficients périodiques obtenu en linéarisant l'équation autour de l'onde progressive, ce que nous ne savons faire pour l'instant que perturbativement, en supposant que l'onde en question est de petite amplitude. De façon générale, la stabilité non linéaire des ondes progressives périodiques vis-à-vis de perturbations ne respectant pas la périodicité de l'onde est un problème ouvert, non seulement pour l'équation de Schrödinger mais pour toutes les équations dispersives non linéaires.

Stabilité des ondes progressives périodiques dans l'équation de Schrödinger non linéaire (II)

L'équation de Schrödinger cubique à une dimension est une équation aux dérivées partielles complètement intégrable, ce qui implique en particulier l'existence d'une infinité de quantités conservées. Mes travaux avec M. Haragus exposés ci-dessus n'utilisaient que l'énergie, le moment et la charge, qui sont les invariants associés aux symétries "évidentes" de l'équation (invariance par translation en espace et en temps, invariance de jauge). Dans une série de travaux récents, B. Deconinck et ses collaborateurs ont montré que, si l'on utilise en outre une quatrième quantité conservée (liée au caractère intégrable de l'équation), alors on peut établir la stabilité non linéaire des ondes progressives périodiques de l'équation de Schrödinger non linéaire vis-à-vis de perturbations "sous-harmoniques", c'est-à-dire de perturbations périodiques dont la période est un multiple entier arbitraire de la période fondamentale de l'onde. Dans un travail en collaboration avec D. Pelinovsky (ici), nous avons établi de ce résultat de façon rigoureuse en suivant une approche différente, qui utilise les propriétés spectrales d'un opérateur différentiel du quatrième ordre à coefficients périodiques. Cette méthode fournit également une nouvelle preuve, très simple, de la stabilité orbitale du "black soliton" (là).

Convergence vers des ondes progressives dans les systèmes formellement gradients.

Stabilité des oscillations homogènes dans les systèmes de réaction-diffusion

Même dans le cadre relativement simple des systèmes de réaction-diffusion, la détermination de la stabilité locale de solutions particulières peut s'avérer difficile quand le spectre de l'opérateur linéarisé ne possède pas de "trou spectral", ce qui est fréquemment le cas lorsqu'on considère des problèmes posés sur des domaines non bornés. En collaboration avec A. Scheel (Minneapolis), j'ai étudié le cas simple mais instructif des solutions homogènes en espace et périodiques en temps. En faisant des hypothèses naturelles sur sur le spectre de Floquet (absence d'instabilité à grande longueur d'onde et d'instabilité de Turing), nous avons obtenu un résultat de stabilité non linéaire très général, qui comprend une description précise du comportement asymptotique en temps des perturbations (ici).