Master Mathématiques et Applications

Master M1 Mathématiques générales

Année 2019-2020

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Contacts

Toutes adresses mail : prenom.nom[at]univ-grenoble-alpes.fr

Liens

Actualités

(17 mars 2020) Confinement

(6 février 2020) Goûter de fin d'année (annonce)

(6 février 2020) Forum Emploi Maths (annonce)

(16 décembre 2019) Emploi du temps second semestre (magistère compris) (tout à confirmer)

(4 décembre 2019) UE TER : Liste des attributions

(26 novembre 2019) UE TER : Liste des sujets

(18 novembre 2019) Master classes en Probabilités 20-24 janvier 2020 à Strasbourg

(18 novembre 2019, complété 28 novembre) Examens du premier semestre

Réunion de rentrée

Emploi du temps premier semestre (magistère compris) (tout à confirmer)

Planning prévisionnel

Forum Emploi Maths

Ressources pédagogiques

Fiche pédagogique individuelle

Présentation de la formation

Sujets d'examen

UE TER

UE Anglais : Posters

Après-midi de clôture

Liste des UE

Au premier semestre Au second semestre
Travail d'études et de recherche
Algèbre 1 Algèbre 2
Équations différentielles ordinaires Analyse fonctionnelle
Fonctions holomorphes Géométrie différentielle et dynamique
Statistique Processus stochastiques
Anglais scientifique Introduction à la cryptologie

Nota : Les ouvrages indiqués en guise de Documentation dans la description détaillée des UE ci-dessous sont en général disponibles, souvent en plusieurs exemplaires, au rayon Capes, Agrégation, Master (cote CA) de la bibiliothèque de l'Institut Fourier. Les étudiant.e.s inscrit.e.s en master peuvent consulter et emprunter ces ouvrages, et travailler dans la salle réservée de la bibliothèque.

UE Algèbre 1 (premier semestre, 71,5 heures, 9 crédits ECTS) (CM Garotta -- TD Herscovich)

Descriptif

  1. Compléments sur les anneaux
  2. Corps (les corps considérés sont commutatifs)
  3. Introduction aux modules

Pré-requis

Documentation

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UE Équations différentielles ordinaires (premier semestre, 71,5 heures, 9 crédits ECTS) (CM Charlot -- TD Kobeissi)

Le but du cours est d'affermir les connaissances sur les équations différentielles ordinaires (ÉDO) en mettant l'accent sur des questions de dynamique, mais aussi de donner de nouveaux outils d'analyse.

Descriptif

  1. Théorèmes d'existence locale pour le problème de Cauchy : Formulation intégrale d'une ÉDO, théorème de Cauchy-Lipschitz (en dimension finie et dans un espace de Banach quelconque) et théorème de Cauchy-Peano.
  2. Lemme de Gronwall : Unicité dans le cadre du théorème de Cauchy- Lipschitz. Solutions maximales.
  3. Existence globale et explosion : théorème des bouts.
  4. Étude qualitative en dimension 1 : Principe de comparaison, critères d'existence globale, exemples d'explosion en temps fini, comportement asymptotique des solutions.
  5. Flot associé à une ÉDO : Dépendance par rapport aux données initiales ; théorème de redressement du flot.
  6. Comportement en temps grand des solutions des ÉDO autonomes : Stabilité et stabilité asymptotique des points d'équilibre ; cas des puits linéaires ; théorèmes de Lyapunov.
  7. ÉDO d'ordre 2 : Théorèmes d'oscillation et de comparaison, problème de Sturm-Liouville.
  8. Théorie hilbertienne des séries de Fourier en une variable. Utilisation des séries de Fourier pour la résolution de l'équation de la chaleur sur un segment.
  9. Généralisations des séries de Fourier.

Pré-requis

Le cours utilisera les notions suivantes du programme de L3 :

Documentation

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UE Fonctions holomorphes (premier semestre, 48,9 heures, 6 crédits ECTS) (CM Piau -- TD Coquio)

Descriptif

  1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
  2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
  3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
  4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
  5. Théorème de la représentation conforme de Riemann
Documentation Revenir à la liste des UE
UE Statistique (premier semestre, 33 heures, 3 crédits ECTS) (Brault)

Descriptif

  1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
  2. Concepts de la statistique et estimation
  3. Régions de confiance, tests d'hypothèse
  4. Statistique nonparamétrique (seulement s'il reste du temps)

Documentation

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UE Anglais scientifique (premier semestre, 24 heures, 3 crédits ECTS) (Esperança-Rodier)

Dans le cadre des cours d'Anglais pour la science, le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe défini par ALTE sera visé dans les trois champs de compétences suivants :

  1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
  2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
  3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision
L'objectif du cours d'Anglais en M1 est la validation de la compétence b. (compréhension écrite au niveau B2).

Programme résumé

  1. Acquérir les techniques nécessaires pour bien comprendre un texte écrit
  2. Apprendre à communiquer à partir de documents de recherche en anglais (choisis dans le domaine de spécialité des étudiants)
  3. Préparer et présenter un poster professionnel, dans le but de développer des techniques de communication écrite et orale (dans le domaine de spécialité des étudiants)
  4. Acquérir un lexique dans le domaine de spécialité des étudiants, à partir de documents de recherche en anglais, par la constitution d'un glossaire

Pré-requis : Niveau B1 du CECRL

Mots-clés : Anglais de spécialité, communication scientifique

Documentation

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UE Travail d'études et de recherche (second semestre, 25 heures, 3 crédits ECTS)

Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

Documentation

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UE Algèbre 2 (second semestre, 48,5 heures, 6 crédits ECTS) (CM Dahmani -- TD Maclean)

Descriptif

Le contenu de l'UE est centré sur les sous-groupes de GLn(K) et les représentations des groupes finis, selon le plan suivant.

  1. Le groupe linéaire GLn(K), le groupe affine, leurs sous-groupes remarquables et les structures qu'ils préservent (groupes triangulaires, théorème de Frobenius, Lie-Kolchin, groupe unitaire d'un produit hermitien)
  2. Cristallographie affine euclidienne (réseau, groupe cristallographique, groupe fini associé, classes cristallines)
  3. Sous-groupes finis de GLn(Z) et GLn(C) (théorèmes de Minkovski et de Jordan)
  4. Représentations des groupes finis (théorème de Maschke, lemme de Schur, irréductibilité)
  5. Théorie des caractères (orthogonalité de Schur, tables de caractères, applications et compléments)
  6. Compléments, exponentielles de matrices, crochet de Lie
  7. Le groupe de Lorentz et la géométrie de SO(3,1)

Documentation

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UE Analyse fonctionnelle (second semestre, 48,5 heures, 6 crédits ECTS) (CM Pajot -- TD Maclean)

Le but de ce cours est de démontrer les principaux théorèmes qui servent de base à l'analyse dans les espaces de Banach de dimension infinie, et d'en présenter un certain nombre d'applications.

Descriptif

  1. Espaces de Banach : exemples classiques, théorèmes de complétude, inégalités fondamentales. Opérateurs linéaires bornés entre deux espaces, formes linéaires, espace dual.
  2. Théorème de Hahn-Banach : axiome du choix, lemme de Zorn, et forme analytique du théorème. Bidual d'un espace de Banach, réflexivité. Dual des espaces ℓp(N) et Lp(Ω).
  3. Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus. Convergence faible d'une suite dans un espace de Banach, et convergence faible-étoile d'une suite dans son dual. Compacité séquentielle faible de la boule unité d'un espace réflexif.
  4. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Supplémentaire topologique d'un sous-espace fermé, projecteurs continus, opérateurs inversibles à gauche ou à droite.
  5. Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Banach. Spectre, ensemble résolvant, opérateur résolvant, rayon spectral. Éventuellement : théorie spectrale des opérateurs compacts.
  6. Espaces de Sobolev en dimension un. Espaces H1(I) et H10(I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. Espace H1(R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un.
Pré-requis

Documentation principale

Le contenu du cours est entièrement couvert par l'excellent ouvrage classique de H. Brézis (en version originale française, ou en version anglaise revue et augmentée) ci-dessous.

Documentation supplémentaire

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UE Géométrie différentielle et dynamique (second semestre, 48,5 heures, 6 crédits ECTS) (CM Häfner-- TD Courte)

Introduction à l'étude des courbes et des surfaces

Descriptif

  1. Courbes : Repères de Frénet, dérivées covariantes, champs de repères, formes de connexion, équations structurelles
  2. Surfaces : Surfaces de R3, plans tangents, formes différentielles, applications différentiables entre surfaces
  3. Variétés abstraites, théorème de Whitney
  4. Courbure : Courbure normale, courbure de Gauss, géodésiques, cas des surfaces de révolution
  5. Géométrie des surfaces de R3 : Théorème Egregium, théorème de Gauss-Bonnet
  6. Possibilités de compléments :
Pré-requis

Documentation

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UE Processus stochastiques (second semestre, 48,5 heures, 6 crédits ECTS) (CM Beffara -- TD Chevallier)

Descriptif

  1. Espérance conditionnelle
  2. Généralités sur les processus stochastiques à temps discret
  3. Martingales à temps discret
  4. Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable
Note : Le temps imparti ne permet pas de démontrer le théorème de convergence des martingales, sauf dans le cas de carré intégrable, ni de caractériser complètement les martingales régulières.

Pré-requis

Documentation

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UE Introduction à la cryptologie (second semestre, 33 heures, 3 crédits ECTS) (Vitse)

Fondements mathématiques de certains protocoles et de certaines méthodes utiles en cryptologie moderne

Descriptif

  1. Arithmétique modulaire, et applications
  2. Codes correcteurs d'erreurs
  3. Suites récurrentes linéaires, registres à décalage, et corrélations
  4. Protocoles asymétriques, Diffie Hellman ; El Gamal ; RSA
  5. Sécurité et attaques
  6. Trouver des nombres premiers, tests de primalité
Au cours de l'étude des thèmes abordés, on expérimentera en TP certaines notions avec des outils de calcul formel.

Pré-requis

Documentation

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