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Master Mathématiques et Applications Master M1 Mathématiques générales Année 2017-2018

Contacts

• Responsable pédagogique : Didier Piau, bureau 225 de l'Institut Fourier
• Responsable administrative : Laurence Garcia, bureau scolarité RDC bâtiment F de l'UFR IM²AG
• Responsable pédagogique Relations internationales : Catriona Maclean, bureau 107 de l'Institut Fourie
  • Partir étudier à l'étranger (page UGA)

Liens

• Magistère Mathématiques et applications (page UFR), et page de présentation sur le site de l'UGA
• M2 Mathématiques fondamentales
• M2 Préparation à l'Agrégation (page UFR)
• M2 Cybersecurity (CySec)
• Master of Science in Industrial and Applied Mathematics (MSIAM)

(2018-06-07) Planning de la fin de l'année 2017-2018

• Jury second semestre première session : vendredi 8 juin 13h
• Examens seconde session du 18 au 25 juin (tous en salle 117 à l'UFR)
  • Processus stochastiques : lundi 18 juin 9h-12h examen oral (convocation à 9h)
  • Fonctions holomorphes : mardi 19 juin 9h-12h examen oral (convocation à 9h)
  • Algèbre 1 : mardi 19 juin 13h-16h
  • ÉDO-ÉDP : mercredi 20 juin 13h-16h
  • Statistiques : jeudi 21 juin 9h-11h examen oral (convocation à 9h)
  • Algèbre 2 : jeudi 21 juin 13h-16h
  • Analyse fonctionnelle : vendredi 22 juin 9h-12h
  • Computer algebra and cryptology : vendredi 22 juin 13h-16h
  • Gémétrie différentielle et dynamique : lundi 25 juin 9h-12h examen oral (convocation à 9h)
• Jury seconde session : mercredi 27 juin 14h

(2018-05-18) Sujets d'examen 2017-2018

(2018-05-12) Après-midi de clôture de l'année (23 mai)

• Mercredi 23 mai à partir de 14h en salle 4
• Programme :
  • 14h : Exposé Histoire du problème de Plateau puis atelier Bulles de savon par Hervé Pajot et Dorian Buffière
    • Sur le problème de Plateau : page wikipedia, article d'Images des mathématiques, exposé de vulgarisation de Pierre Bérard sur les Surfaces minimales [PDF]
  • 15h environ : Goûter partagé entre étudiant.e.s, intervenant.e.s, descendances, autres
    • Prière de renseigner le pad en lien, y compris si vous avez prévu de ne pas participer

(2018-05-12) (modifié 2018-05-16) Soutenances de TER (du 18 au 23 mai)

• Les soutenances ont toutes lieu en salle 18 ou en salle 15. Chaque soutenance donne lieu à 20 minutes d'exposé par l'étudiant.e puis à 10 minutes d'échanges avec le jury. L'exposé est donné sur tableau noir, à la craie.
  Une version PDF du mémoire doit être envoyée aux deux membres du jury et au responsable du M1 par mail au plus tard le lundi 14 mai.
  Le jour de la soutenance, l'étudiant.e fournit deux exemplaires papier de son mémoire au jury.
• Horaires (heure de convocation étudiant.e encadrant.e + jury)
  • Vendredi 18 mai matin (salle 18) : 9h Ollivier Beffara + Maclean 9h30 Cravic Maclean + Beffara 10h15 Didelon Maclean + Dahmani 10h45 Lemoine Dahmani + Leuridan 11h15 Suzan Leuridan + Dahmani
  • Vendredi 18 mai après-midi (salle 15) : 13h30 Méot Deraux + Charlot 14h Couton Charlot + Deraux 14h30 Techer Prieur + Leuridan 15h Bourne Peyre + Maclean 15h30 Graff Peyre + Maclean
  • Mardi 22 mai matin (salle 18) : 9h30 Fays Garotta + Vitse 10h Guebey Garotta + Vitse 10h30 Peyret Vitse + Garotta 11h Romezin Vitse + Garotta
  • Mardi 22 mai après-midi (salle 15) : 14h Buffière Pajot + Gayet 14h30 Duhamel Pajot + Gayet
  • Mercredi 23 mai matin (salle 18) : 9h Coffre Gayet + Fasel 9h30 Vouriot Fasel + Gayet 10h Mailley Beffara + Chevallier 10h30 Vernay Chevallier + Beffara

(2018-04-06) Dates d'examen second semestre (du 14 au 17 mai)

• Lundi 14 mai 13h30-16h30 (et aménagements) Analyse fonctionnelle salle F316 (et F319)
• Mardi 15 mai 9h-12h (et aménagements) Géométrie différentielle et dynamique salle F316 (et F319)
• Mercredi 16 mai 9h-12h (et aménagements) Algèbre 2 salle F316 (et F321)
• Jeudi 17 mai 9h-12h (et aménagements) Processus stochastiques salle F316 (et F321)
• Jeudi 17 mai 14h-17h (et aménagements) Introduction à la cryptographie salle F316 (et F321) (salles à confirmer)

(2018-01-11) UE Introduction à la cryptographie (à partir du 9 février)

Première séance vendredi 9 février à 13h30 en salle F107 du bâtiment F, TP à 15h15 en F216 PC, fin de la séance à 16h45.
Un polycopié (PDF), temporaire et incomplet comme il se doit, est disponible.
Comme indiqué dès les premières pages du polycopié, les étudiant.e.s sont invité.e.s à installer dès maintenant SageMath et/ou Xcas sur leur ordinateur préféré et à en explorer les possibilités.
• Page de SageMath
• Sage Quick Reference Cards
• Page d'Installation de Xcas

(2017-12-17) Emploi du temps second semestre (à partir du 15 janvier)

• Lundi :
  • 10h15-11h45 Processus stochastiques CM Salle 14
  • 13h45-15h15 Analyse fonctionnelle CM Amphi
  • 15h30-17h Géométrie différentielle et dynamique CM Amphi
• Mardi :
  • 10h30-12h Analyse fonctionnelle TD Salle 17
  • 13h30-15h Algèbre 2 TD Salle 16
  • 15h15-16h45 Géométrie différentielle et dynamique TD Salle 16
• Mercredi :
  • 9h-10h45 Algèbre 2 CM Salle 16
  • 11h-12h30 Processus stochastiques TD Salle 16
  • 14h-15h30 Géométrie différentielle et dynamique TD Salle 16
• Jeudi :
  • 13h15-14h45 Algèbre 2 TD Salle 16
• Vendredi :
  • 9h-10h30 Processus stochastiques TD Salle 16
  • 10h45-12h15 Analyse fonctionnelle TD Salle 16
  • 13h30-15h (selon les semaines) Introduction à la cryptographie CM Salle F107 du bâtiment F
  • 15h15-16h45 (selon les semaines) Introduction à la cryptographie TP Salle F216 du bâtiment F

(2017-12-01) Attributions des sujets de TER

(2017-11-27) Dates d'examen premier semestre (du 8 au 10 janvier)

• Lundi 8 janvier 13h30-16h30 (et aménagements) Algèbre 1 salle F320 (et F218)
• Mardi 9 janvier 9h-12h (et aménagements) Fonctions holomorphes salle F320 (et F218)
• Mercredi 10 janvier 9h-12h (et aménagements) ÉDO salle F320 (et F218)

(2017-11-27) UE Anglais (8 décembre)

L'examen écrit à l'UE d'Anglais du M1 et à la compétence "Compréhension écrite" aura lieu le vendredi 8 décembre 2017 de 17h30 à 18h30 au DLST (la répartition dans les salles sera communiquée ultérieurement)

(2017-11-24) Archives supplémentaires de sujets d'examens disponibles

(2017-11-24) UE Statistiques (15 décambre)

L'examen aura lieu le vendredi 15 décembre 2017 de 13h30 à 15h30 (jusque'à 16h10 pour les tiers-temps) en salle F 321, 3ème étage du bâtiment F de l'UFR

(2017-11-23) Liste des sujets de TER (PDF)

Envoyer un mail au responsable du M1, avec le titre M1 MG TER, indiquant votre nom et les numéros des quatre sujets que vous souhaiteriez obtenir, par ordre de préférence décroissante, avant le jeudi 30 novembre à minuit.

(2017-10-24) Forum Emploi Maths (13 décembre)

Ce forum permet aux étudiants de L3 et de Master de découvrir les métiers des matématiques. Cette année, il a lieu à la Cité des sciences de la Villette le 13 décembre 2017. Des financements sont disponibles grâce à l'UFR et au Labex Persyval.
Si vous êtes intéressé, inscrivez-vous sur le site du Forum Emploi Maths et envoyez un mail à Hervé Pajot.

(2017-09-19) Archives de sujets d'examen disponibles

(2017-09-17) Bibliothèque

L'accès des étudiant.e.s de M1 MG à la salle de lecture et de consultation Capes-Agrégation-Master de la bibliothèque de l'Institut Fourier est confirmé, ainsi que la possibilité d'emprunter des ouvrages de la cote CA. Par ailleurs, de nouvelles commandes de manuels M1 MG ont été passées, les volumes sont en train d'arriver et seront bientôt disponibles à cette même cote CA.

Emploi du temps premier semestre (copie ADE, seul ADE fait foi)

• Lundi : 10h-11h45 FH TD Salle 17 | 13h15-15h15 Algèbre 1 TD Salle 18 | 15h30-17h30 Algèbre 1 CM Amphi
• Mardi : 8h45-10h15 FH CM Amphi | 10h30-12h30 Anglais Salle F106 ou F109 du bàtiment F | 14-16h ÉDO TD Salle 17
• Mercredi : 9h-11h ÉDO TD Amphi | 13h30-15h30 ÉDO CM Salle 17
• Jeudi : 10h45-12h30 FH TD Salle 17
• Vendredi : 10h30-12h15 Algèbre 1 TD Salle 16 | 13h30-16h45 Statistiques CTD Salle F107 du bàtiment F

Réunion de rentrée 2017-2018 : jeudi 7 septembre 2017 à partir de 10 h en salle 18 à l'Institut Fourier

• Présentation M1 MG (PDF)
• Présentation Master MA (PDF)
• Présentation UE Anglais (PDF)
• Fiche pédagogique individuelle (PDF)
• Début des cours :jeudi 7 septembre à partir de 14 h en fonction de l'emploi du temps (donc vendredi 8 à 10h30, finalement...)

Planning prévisionnel 2017-2018

• Premier semestre
  • Début des enseignements : jeudi 7 septembre
  • Contrôles continus : en novembre, en TD
  • Examens écrits : semaine du 8 au 12 janvier
• Second semestre
  • Début du semestre : lundi 15 janvier
  • Contrôles continus : en mars, en TD
  • Examens écrits : du lundi 14 au jeudi 17 mai
  • Soutenances de TER : vendredi 18, mardi 22 et mercredi 23 mai

Les ouvrages indiqués en guise de Documentation ci-dessous sont disponibles, pour la plupart en plusieurs exemplaires, à l'intention des étudiant.e.s inscrit.e.s en master, qui peuvent les consulter et les emprunter à la bibiliothèque de l'Institut Fourier, au rayon Capes, Agrégation, Master (cote CA).

Archives de sujets d'examen :

• Algèbre 1 (PDF)
• ÉDO (PDF)
• Fonctions holomorphes (PDF)
• Algèbre 2 (PDF)
• Analyse fonctionnelle (PDF)
• Géométrie différentielle et dynamique (PDF)
• Processus stochastiques (PDF)
• Introduction à la cryptologie (PDF)
  
  
• Archives supplémentaires

Descriptif

1. Compléments sur les anneaux
   • Algèbre des polynômes en un nombre fini de variables, polynômes symétriques, séries formelles en une variable
   • Lien entre coefficients et racines d'un polynôme
   • Corps des fractions d'un anneau intègre
   • Anneaux noethériens, anneaux factoriels, théorème de Gauss
   • Polynômes irréductibles, critères d'irréductibilité (Eisenstein, etc.)
2. Corps (les corps considérés sont commutatifs)
   • Extension de corps, degré, multiplicativité
   • Elément algébrique, transcendant, polynôme minimal, extension algébrique
   • Corps de rupture, corps de décomposition d'un polynôme
   • Clôture algébrique (définition), le corps C des nombres complexes est algébriquement clos
   • Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative
   • Racines de l'unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur Z
3. Introduction aux modules
   • Notion de module (sur un anneau commutatif), exemples sur K[X] et sur Z, homomorphismes
   • Modules libres, contre-exemples
   • Opérations sur les lignes et colonnes d'une matrice à coefficients dans un anneau euclidien, facteurs invariants
   • Théorème de la base adaptée sur un anneau euclidien
   • Structure des groupes abéliens finis (l'unicité sera admise)
   • Invariants de similitude, décomposition de Frobenius d'un endomorphisme en dimension finie

Pré-requis

• Cours d'algèbre de L3

Documentation

• Serge Lang, Algèbre, Cours et exercices résolus, Dunod, 2004

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Le but du cours est d'affermir les connaissances sur les équations différentielles ordinaires (EDO) en mettant l'accent sur des questions de dynamique, mais aussi de donner de nouveaux outils d'analyse, et d'introduire quelques questions liées aux équations aux dérivées partielles.

Descriptif

1. Théorèmes d'existence locale pour le problème de Cauchy : Formulation intégrale d'une EDO, théorème de Cauchy-Lipschitz (en dimension finie et dans un espace de Banach quelconque) et théorème de Cauchy-Peano.
2. Lemme de Gronwall : Unicité dans le cadre du théorème de Cauchy- Lipschitz. Solutions maximales.
3. Existence globale et explosion : théorème des bouts.
4. Étude qualitative en dimension 1 : Principe de comparaison, critères d'existence globale, exemples d'explosion en temps fini, comportement asymptotique des solutions.
5. Flot associé à une EDO : Dépendance par rapport aux données initiales ; théorème de redressement du flot.
6. Comportement en temps grand des solutions des EDO autonomes : Stabilité et stabilité asymptotique des points d'équilibre ; cas des puits linéaires ; théorèmes de Lyapunov.
7. EDO d'ordre 2 : Théorèmes d'oscillation et de comparaison, problème de Sturm-Liouville.
8. Théorie hilbertienne des séries de Fourier en une variable. Utilisation des séries de Fourier pour la résolution de l'équation de la chaleur sur un segment.
9. Convolution et transformation de Fourier dans R^d : Convolution de deux fonctions dans L¹(R^d). Transformation de Fourier sur L¹(R^d). Transformée de Fourier d'un produit de convolution. Transformée de Fourier de la densité dune gaussienne centrée. Formule d'inversion pour une fonction intégrable ayant une transformée de Fourier intégrable. Formule de Plancherel. Définition de la transformée de Fourier d'une fonction de L²(R^d). Convolution de deux mesures positives finies. Cas où l'une des deux mesures possède une densité.

Pré-requis

Le cours utilisera les notions suivantes du programme de Licence 3.

• Espaces de Banach, théorème de point fixe par contraction, théorème d'Ascoli
• Espaces de Hilbert, théorème de projection, bases hilbertiennes
• Théorie de l'intégration de Lebesgue, théorème de convergence dominée.
• Séries de Fourier en une variable : définition, convergence quadratique et ponctuelle dans le cadre continu par morceaux ou C¹ par morceaux

Documentation de base (plutôt à destination des étudiant.e.s)

• Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, Dunod, 2014. (EDO)
• Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, Éditions de l'École Polytechnique, 2001. (Séries et transformation de Fourier)
• Jean-Michel Bony, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Éditions de l'École Polytechnique, 2001. (Séries et transformation de Fourier)
• Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert, 2000. (Intégration, convolution)
• Antoine Chambert-Loir et Stéfane Fermigier, Analyse 1 : exercices de mathématiques pour l'agrégation, Masson, 1997. (Séries de Fourier)
• Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, 2016. (EDO)
• Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 2008. (EDO, Sturm)
• François Laudenbach, Calcul différentiel et intégral, Éditions de l'École Polytechnique, 2011. (EDO)
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices, Dunod, 2009. (Séries et transformation de Fourier)
• Claude Wagschal, Dérivation et intégration, Hermann, 2009. (Séries et transformation de Fourier)

Documentation avancée (plutôt à destination des enseignant.e.s)

• Vladimir .I. Arnold, Équations différentielles ordinaires, Mir, 1974. (EDO)
• Antoine Chambert-Loir et Stéfane Fermigier, Analyse 3 : exercices de mathématiques pour l'agrégation, Masson, 1996. (Sturm)
• Carmen Chicone, Ordinary differential equations with applications, Springer, 1999. (EDO)
• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, 1968. (EDO, Sturm)
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, tome 1, Gauthier-Villars, 1979. (EDO, Sturm)
• Elliott H. Lieb et Michael Loss, Analysis, American Mathematical Society, 2001. (Transformation de Fourier)
• Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Fourier analysis: an introduction, Princeton University Press, 2003. (Séries et transformation de Fourier)
• Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton University Press, 2005. (Séries de Fourier)

Descriptif

1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

• Patrice Tauvel, Analyse complexe pour la Licence 3, Dunod 2006
• Éric Amar, Étienne Matheron, Analyse complexe, Cassini 2003

Descriptif

1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
   • Loi de probabilité d'une variable aléatoire, détermination de la loi et calcul de ses paramètres (espérance, variance)
   • Simulation par la méthode d’inversion
   • Notion de vecteur aléatoire, densité jointe
   • Cas des vecteurs gaussiens
2. Statistique descriptive
   • Indicateurs usuels
   • Histogrammes, graphes de probabilité
   • Notions de modélisation
3. Théorie de l’estimation et des tests paramétriques
   • Estimation ponctuelle : méthode des moments, maximum de vraisemblance
   • Estimation par intervalles de confiance
   • Test de Neyman-Pearson
4. Statistique nonparamétrique (seulement s’il reste du temps)
   • Fonction de répartition empirique
   • Test de Kolmogorov-Smirnov

Documentation

• Philippe Barbe et Michel Ledoux, Probabilité L3-M1, EDP Sciences 2007
• Bernard Bercu, Djalil Chafaï Modélisation stochastique et simulation, Cours et applications, Dunod 2007, également disponible sur HAL
• Gérard Biau, Gérard Droniou, Marc Herzlich, Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature, Modéliser, comprendre et appliquer, EDP Sciences 2010, également disponible sur HAL

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Dans le cadre des cours d’Anglais pour la science, le niveau de qualification B2 du Conseil de l’Europe défini par ALTE sera visé dans les trois champs de compétences suivants :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l’information pertinente et en saisir l’essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

Programme résumé

1. Acquérir les techniques nécessaires pour bien comprendre un texte écrit
2. Apprendre à communiquer à partir de documents de recherche en anglais (choisis dans le domaine de spécialité des étudiants)
3. Préparer et présenter un poster professionnel, dans le but de développer des techniques de communication écrite et orale (dans le domaine de spécialité des étudiants)
4. Acquérir un lexique dans le domaine de spécialité des étudiants, à partir de documents de recherche en anglais, par la constitution d'un glossaire

Pré-requis : Niveau B1 du CECRL

Mots-clés : Anglais de spécialité, communication scientifique

Documentation

• Council of Europe E.C., Common European Framework of Reference for Languages: Learning, Teaching, Assessment, Cambridge University Press, 2001, lien web
• Site du British Council
• Page e-lang master sur le site de l'ex-UJF

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Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

Documentation

• Micro-introduction à LaTeX (sur la page de Bernard Parisse)
• Liste des sujets proposés en 2014-2015 (PDF)
• Quelques (bons) mémoires de TER rédigés en 2016-2017 (PDF)
  • Théorème d'Erhart (Hélène Chakroun)
  • Solutions entropiques de lois de conservation (Thomas Mietton)
  • Loi du demi-cercle (Léa Guériteau)
  • Zéros réels des polynômes aléatoires (Justine Fasquel)
  • Corps non commutatifs : constructions (Vincent Blazy)
  • Et un mémoire un peu plus ancien : Problème des moments (Mathieu Delamare)

Descriptif (sous réserve d'aménagements)

1. Motivation et premières notions
   • Définition d'une représentation d'un groupe ; motivations (cristallographie, polyèdres, virologie, classification des groupes) ; morphismes, isomorphismes.
   • Objectif : classification des représentations
2. Exemples
   • Représentations de dimension 1, représentation associée à une action, représentation régulière. Groupes d'isométries conservant une partie finie.
   • Automorphismes de structures. Sommes directes.
3. Décomposition des représentations
   • Sous-représentations, quotient, supplémentaire.
   • Théorème de Maschke. Représentations irréductibles, condition suffisante pour l'existence d'une décomposition en somme de représentations irréductibles. Lemme de Schur, applications.
   • Composantes isotypiques, description des morphismes.
4. Théorie des caractères, classification des représentations complexes.
   • Définition des caractères, exemples, relation d'orthogonalité des caractères, relation d'orthonormalité de Schur. Nombre de représentations irréductibles.
5. Tables de caractères
   • Définition, le cas des groupes abéliens finis, les groupes diédraux, le groupe alterné sur 4 éléments.
6. Compléments d'algèbre linéaire
   • Module sur un anneau (non nécessairement commutatif). Lien entre représentations et modules sur l'algèbre du groupe. Sous-modules simples et représentations irréductibles, lemme de Schur. Calcul matriciel dans le cas non commutatif, théorème de décomposition de l'algèbre de groupe. Produit tensoriel pour des modules. Propriété universelle, compatibilité avec la somme directe, base. Produit tensoriel de représentations, extension des scalaires. Sous-groupes, restriction, induction, caractère de la représentation induite.
7. Intégrité des caractères et applications
   • Notion d'élément entier dans une algèbre, centre de l'algèbre d'un groupe, la dimension d'une représentation complexe irréductible divise le cardinal du groupe. Seconde relation d'orthogonalité de Schur, théorème de Burnside.
8. Transformée de Fourier discrète
   • Groupe des caractères, définition de la transformée, analogie avec les autres transformées de Fourier, utilité

• Maîtriser les notions liées aux représentations, savoir trouver la table des caractères de groupes de petit cardinal, savoir utiliser le produit tensoriel dans des situations simples

Documentation

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1998

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Le but de ce cours est de démontrer les principaux théorèmes qui servent de base à l'analyse dans les espaces de Banach de dimension infinie, et d'en présenter un certain nombre d'applications.

Descriptif

1. Espaces de Banach : exemples classiques, théorèmes de complétude, inégalités fondamentales. Opérateurs linéaires bornés entre deux espaces, formes linéaires, espace dual.
2. Théorème de Hahn-Banach : axiome du choix, lemme de Zorn, et forme analytique du théorème. Bidual d'un espace de Banach, réflexivité. Dual des espaces ℓ^p(N) et L^p(Ω).
3. Lemme de Baire et théorème de Banach-Steinhaus. Convergence faible d'une suite dans un espace de Banach, et convergence faible-étoile d'une suite dans son dual. Compacité séquentielle faible de la boule unité d'un espace réflexif.
4. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Supplémentaire topologique d'un sous-espace fermé, projecteurs continus, opérateurs inversibles à gauche ou à droite.
5. Introduction à la théorie spectrale des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Banach. Spectre, ensemble résolvant, opérateur résolvant, rayon spectral. Éventuellement : théorie spectrale des opérateurs compacts.
6. Espaces de Sobolev en dimension un. Espaces H¹(I) et H¹₀(I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. Espace H¹(R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un.

• Le cours repose essentiellement sur la topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés étudiée au premier semestre du L3. Le langage de la topologie générale est également utilisé.
• La théorie de l'intégration vue au second semestre du L3 est nécessaire pour traiter des exemples classiques comme les espaces L^p.
• Les séries de Fourier et la transformation de Fourier, qui figurent au programme du cours Équations différentielles ordinaires au premier semestre du M1, interviennent dans l'étude des espaces de Sobolev.

Documentation principale

Le contenu du cours est entièrement couvert par l'excellent ouvrage classique de H. Brézis (en version originale française, ou en version anglaise revue et augmentée) ci-dessous.

• Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, Masson, Paris, 1983
• Haïm Brézis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, 2011

• Daniel Li, Hervé Queffélec, Introduction à l'étude des espaces de Banach. Analyse et probabilités, Cours Spécialisés 12, SMF, Paris, 2004
• Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach spaces (2 volumes), Springer, Berlin, 1979
• Michael Reed, Barry Simon, Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis, Academic Press, New-York, 1980
• Walter Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York, 1991 (traduction française, Ediscience, Paris, 1995)

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Introduction à l'étude des courbes et des surfaces

Descriptif

1. Courbes : Repères de Frénet, dérivées covariantes, champs de repères, formes de connexion, équations structurelles
2. Surfaces : Surfaces de R³, plans tangents, formes différentielles, applications différentiables entre surfaces
3. Variétés abstraites, théorème de Whitney
4. Courbure : Courbure normale, courbure de Gauss, géodésiques, cas des surfaces de révolution
5. Géométrie des surfaces de R³ : Théorème Egregium, théorème de Gauss-Bonnet
6. Possibilités de compléments :
   • Sous-variétés de Rⁿ et variétés abstraites
   • Introduction aux systèmes dynamiques, champs vectoriels et systèmes dynamiques sur les variétés

• Calcul différentiel de L3

Documentation

• Edmond Ramis, Claude Deschamps, Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales. 5. Applications de l’analyse à la géométrie, Masson, 1981
• Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, seconde édition, Presses Universitaires de France, 1992
• Manfredo Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Grenoble Sciences, 2010

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Descriptif

1. Espérance conditionnelle
2. Généralités sur les processus stochastiques à temps discret
   • Construction, espace canonique, filtrations, temps d'arrêt
3. Martingales à temps discret
   • Théorèmes d'arrêt, théorèmes de convergence, martingales régulières (voir note), applications (ruine du joueur, processus de Galton-Watson, etc.)
4. Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable
   • Aspects algébriques et probabilistes, propriété de Markov, classification des états, récurrence, transience, périodicité, lois stationnaires, théorème ergodique (dans le cas récurrent positif), convergence vers la loi stationnaire, exemples et applications (modèles de diffusion, modèles génétiques, files d'attente, etc.)

Pré-requis

• Les parties consacrées aux probabilités du cours de Théorie de la mesure, introduction aux probabilités en L3A et du cours de Statistique au premier semestre du M1.

Documentation

• Philippe Barbe, Michel Ledoux, Probabilité L3-M1, EDP Sciences 2007
• Laurent Mazliak, Pierre Priouret, Paolo Baldi, Martingales et chaînes de Markov, Hermann 1998
• Djalil Chafaï, Florent Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires, Springer 2016, également disponible sur HAL

Fondements mathématiques de certains protocoles et de certaines méthodes utiles en cryptologie moderne

Descriptif

1. Arithmétique modulaire, et applications
2. Codes correcteurs d'erreurs
3. Suites récurrentes linéaires, registres à décalage, et corrélations
4. Protocoles asymétriques, Diffie Hellman ; El Gamal ; RSA
5. Sécurité et attaques
6. Trouver des nombres premiers, tests de primalité

Pré-requis

• Cours d'algèbre de L3 ou cours d'algèbre du premier semestre du M1, familiarité avec un logiciel de mathématiques/calcul formel

Documentation

• Gilles Zémor, Cours de cryptographie, Cassini 2000

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