Répartition modulo 1 des puissances d'un nombre rationnel et numération.

Dans une première partie, je présenterai rapidement le cadre général de
ce travail, à  savoir les liens entre l'écriture des nombres et les
automates finis. Ils commencent avec des exemples simples qu'on peut
faire remonter à  Blaise Pascal et plus sérieusement avec le très beau
theorème de Cobham (1969). Il se poursuivent avec l'étude des systèmes
de numération non standard, en particulier les systèmes géométriques où
la base est un réel $eta$ non entier. L'algorithme glouton donne à 
chaque réel une $eta$-représentation particulière, son
$eta$-développement. On sait, entre autres, que si $eta$ est un
nombre de Pisot, l'ensemble des eta$-développements est un sous-shift
sophique et que pour tout alphabet il existe un transducteur fini
lettre-à -lettre qui envoie toute $eta$-représentation (sur cet
alphabet) sur le $eta$-développement équivalent (ie de même valeur).

Dans une seconde partie, je présenterai un travail commun avec Shigeki
Akiyama (Niigata) et Christiane Frougny (Paris VIII et Liafa) où nous
avons considéré le cas où $eta$ est un nombre rationnel. L'algorithme
glouton ne donne rien d'intéressant, mais un autre algorithme, une sorte
de division euclidienne modifiée, donne aux entiers un développement
fini, obtenu en calculant les chiffres de la droite vers la gauche, à 
l'inverse de l'algorithme glouton donc.

L'ensemble de ces développements est un ensemble non rationnel, et
néanmoins la normalisation est réalisée par un transducteur fini
lettre-à -lettre. Parce qu'il est fermé par préfixe, cet ensemble définit
naturellement un arbre infini, dont les branches sont considérées par
définition comme les développements des nombres réels. Nous verrons que
tout réel admet un tel développement et qu'un nombre infini dénombrable
de réels en admettent plus d'un -- ce qui est la situation pour les
développements des réels en base entière.

Cette étude apporte un ingrédient nouveau à  celle d'un problème ancien
de théorie des nombres: la répartition modulo 1, en fonction d'un réel
$x$, du produit par $x$ des puissances d'un nombre rationnel. Et ce
n'est pas son moindre intérêt que de nous avoir permis de faire quelques
progrès dans ce domaine.