Introduction aux champs quotients

En topologie, la construction d'un quotient, est relativement simple; si $G$ est un groupe topologique agissant sur un espace topologique $X$, on peut considérer l'application naturelle de $X$ dans $X/G$, l'espace d'orbites muni de la topologie quotient. En géométrie algébrique, il n'est généralement pas possible de munir $X/G$ d'une structure de schéma, c'est pourquoi afin de définir l'objet représentant le "bon" quotient $[X/G]$, il est nécessaire d'élargir la catégorie des schémas.

Dans cette exposé, après avoir mis en valeur les principes guidant la définition de $[X/G]$ comme champ algébrique, on présentera comment les hypothèses faites sur l'action de $G$ sur $X$ donne des propriétés supplémentaires à $[X/G]$ (espace algébrique, champ de Deligne-Mumford, propriété de séparation...).  On évoquera plusieurs exemples comme les espaces projectifs à poids et les champs BG classifiant les torseurs d'un groupe G. Enfin, si le temps le permet, on évoquera comment la structure locale des champs de Deligne-Mumford les relie à une certaine classe de champs quotients.