Dorin Bucur

La conjecture de Hall sur la forme quantitative de l'inégalité isopérimétrique a été résolue par Fusco, Maggi et Pratelli en 2008. Dans le sillage de ce résultat, plusieurs inégalités spectrales (Faber-Krahn, Saint Venant, Szego-Weinberger, Weinstock-Brock, ...) ont été améliorées par l'addition d'un terme géométrique. Certaines de ces inégalités (celles de "maximum") reviennent, grosso modo, à une analyse de variation locale des fonctions test bien choisies. Les autres (celles de "minimum") s’avèrent plus compliquées et leur résolution passe souvent par l'analyse de la régularité des solutions d'un problème à frontière libre.

Dans cet exposé, je vais faire un point sur les résultats obtenus, et je vais discuter l'inégalité quantitative associée à la minimisation des valeurs propres fondamentales du Laplacien avec conditions de Robin au bord. Je vais introduire une nouvelle fonctionnelle dont la minimisation, dans le cadre des problèmes à discontinuités libres, donne de façon directe une forme quantitative de l'inégalité spectrale. Cette fonctionnelle dégénérée fait interagir l'énergie de l'edp et des termes géométriques d'une manière (un peu) surprenante. Travail en collaboration avec A. Giacomini et M. Nahon.

Séminaire sur Zoom :

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