Julien Maubon

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Koziarz.

Un réseau hyperbolique complexe est un réseau $\Gamma$ dans le groupe de
Lie ${\rm SU}(n,1)$, $n\geq 2$. Un tel réseau agit sur la boule unité
${\mathbb B}^n$ de ${\mathbb C}^n$ vue comme l'espace hyperbolique
complexe de dimension $n$. Nous supposerons que $\Gamma$ est sans
torsion et uniforme, et que donc le quotient $M=\Gamma\backslash{\mathbb
B}^n$ est une variété compacte.

Soit $G$ un groupe de Lie simple non compact de type hermitien et $\rho$
une représentation, i.e. un morphisme de groupes, de $\Gamma$ dans $G$.
L'invariant de Toledo est un nombre associé à la représentation $\rho$
et qui est une mesure de sa "taille" (au sens complexe). On peut montrer
que cet invariant est borné par une quantité qui ne dépend que du volume
de $M$ et du rang de l'espace symétrique $X$ associé à $G$. Lorsque
cette borne est atteinte, on dit que $\rho$ est maximale.

Nous expliquerons pourquoi si la représentation $\rho$ est maximale,
alors nécessairement $G={\rm SU}(p,q)$ avec
$p\geq qn$, et le morphisme $\rho$ s'étend essentiellement à un
morphisme de ${\rm SU}(n,1)$ dans $G$. Plus précisément, il existe un
plongement holomorphe, totalement géodésique, $\rho$-équivariant de
l'espace hyperbolique complexe ${\mathbb B}^n$ dans l'espace symétrique
$X$ associé à $G$.   

La preuve fait intervenir de manière cruciale le feuilletage associé aux
géodésiques complexes sur le projectifié du fibré tangent d'une variété
hyperbolique complexe.