Paul Mercat

Il est bien connu que tout nombre complexe se développe de façon presque unique en base 1+i avec ensemble de chiffre 0,1. Mais que se passe-t’il pour les développements en base un nombre réel ou complexe beta quelconque et avec pour ensemble de chiffres une partie finie quelconque de C ? J’introduis la notion de semi-groupe fortement automatique, qui consiste à avoir un ensemble de relations qui soit un langage rationnel, et qui permet de décrire facilement la combinatoire du semi-groupe. Je démontrerai que les semi-groupes de développement en base beta sont fortement automatiques dès que beta est un nombre transcendant, ou bien que beta est un nombre algébrique sans conjugué galoisien de module 1. J’expliquerai comment la forte automaticité de ces semi-groupes permet de calculer leur vitesse exponentielle de croissance, et j’expliquerai rapidement comment cette vitesse est reliée à la dimension de Hausdorff de l’ensemble des nombres complexes qui se développent, quand beta est un nombre de Salem généralisé et que l’ensemble de chiffres est une partie finie de Q(beta).