De quoi sont faites les applications unimodulaires ?

Les fonctions continues et unimodulaires $u$ sur un cube $C$ sont précisément les fonctions de la forme $u=\exp (\imath\varphi)$, avec $\varphi\in C(C ; {\mathbb R})$. Cette égalité donne une description linéaire (=à l'aide d'un espace linéaire) de l'espace non linéaire $C(C ; {\mathbb S}^1)$. La situation est plus compliquée si on se place dans le contexte des espaces de Sobolev : une fonctions $u$ ayant une régularité de Sobolev donnée n'admet pas forcément un relèvement $\varphi$ ayant la même régularité. Il est toutefois possible de décrire toutes les fonctions à régularité de Sobolev fixée. Cette description fait intervenir trois objets, dont deux vivent dans des espaces linéaires (ce sont les bons et les mauvais relèvements) et le troisième est un courant intégral, lié aux singularités de $u$.
Pendant l'exposé, j'expliquerai cette caractérisation des fonctions unimodulaires. Le résultat présenté est l'analogue, dans le contexte Sobolev, des théorèmes de factorisation des fonctions holomorphes (à la Weierstrass ou Hadamard). Je décrirai aussi une propriété amusante des sommes de masses de Dirac, propriété qui découle de ce résultat.