Sur la régularité des minimiseurs de Mumford-Shah en dimension 3

La fonctionnelle de D. Mumford et J. Shah a été introduite en 1989 pour résoudre
un problème de segmentation d'image. Pour une fonction $g$ donnée (image), il s'agit de
minimiser
$$F(u,K):=\int_{\Omega}|u-g|^2 + \int_{\Omega \backslash K}|\nabla u|^2+H^{N-1}(K)$$
sur l'ensemble des couples admissibles $(u,K)$ où $K$ est un fermé de codimension 1 et
$u$ est régulière en dehors de $K$. La régularité de la segmentation minimale $K$ a fait
l'objet de nombreuses recherches depuis près de 20 ans et la conjecture formulée par
Mumford et Shah en 1989 à propos de la régularité dans $R^2$ n'est toujours pas
complètement démontrée à l'heure actuelle.
Dans cet exposé je présenterai un résultat nouveau concernant la régularité de l'ensemble
singulier en dimension 3. On montrera notamment les liens entre les minimseurs de
Mumford-Shah et le théorème de Jean Taylor (1976) sur les ensembles minimaux de type
bulles de savon dans $\R^3$. Ce résultat donne une nouvelle preuve et généralise le
théorème de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara (1997).