Développements récents en analyse complexe des domaines pseudoconvexes de type fini de $\mathbb{C}^n$

Après avoir rappelé les notions de bases extrémales et de domaine
géométriquement convexe de $\mathbb{C}^{n}$, on expliquera leur utilisation
dans au moins les deux cas suivants:

- Domaines $\mathbb{C}$-convexes de type fini (géométrie, estimations
des projecteurs de Bergman et Szegö, résolution semi-explicite de
l'équation $\overline{\partial}u=f$, caractérisation des zéros des
fonctions de la classe de Nevanlinna);

- Certains domaines de type Hartogs de $\mathbb{C}^{n+m}$ dans le but
d'obtenir des estimations de projecteurs de Bergman à poids dans des
domaines de $\mathbb{C}^{n}$ (plus précisément, si $\rho$ est une
fonction définissante d'un domaine $\Omega$ de $\mathbb{C}^{n}$
et si $h$ est une fonction positive sur $\mathbb{C}^{m}$, on étudie
les propriétés du domaine $\left\{ \left(z,w\right)\in\mathbb{C}^{n+m}\mbox{ tels que }\rho(z)+h(w)<0\right\} $
- pseudoconvexité, finitude du type, séparation géométrique... - en
fonction des propriétés de $\Omega$, $\rho$ et $h$; par exemple,
ceci permet d'obtenir des estimations fines de projecteurs de Bergman à poids d'un domaines de type fini de $\mathbb{C}^{2}$ pour un poids
qui est égal, au voisinage du bord, à une puissance rationnelle de la distance au bord).