Volume cubique de Koras-Russell et surfaces de Danielewski

On appelle cubique de Koras-Russell l'hypersurface $X$ de
$\mathbb{C}^4$ définie par l'équation $x^2y+x+z^2+t^3=0$. Cette variété a la
propriété d'être difféomorphe à  l'espace euclidien $\mathbb{R}^6$ et la
question dans les années 90 a été de décider si elle était algébriquement
isomorphe à  l'espace affine $\mathbb{C}^3$. Une réponse positive aurait
entrainée l'existence d'actions algébriques non linéarisables du groupe
multiplicatif sur l'espace de dimension 3.
Makar-Limanov a finalement démontré en 1996 que cette variété $X$ n'est pas
isomorphe à  l'espace affine, la raison étant qu'elle admet moins d'actions du
groupe additif complexe qu'un espace affine. Une question ouverte depuis lors
consistait à  décider si cette propriété restait vraie pour le cylindre $X\times
\mathbb{C}$. Dans cet exposé, j'expliquerais comment exploiter un célèbre
contre-exemple au Problème de Simplification du à  Danielewski pour montrer
cela n'est pas le cas : $X\times \mathbb{C}$ n'est pas distinguable de l'espace
affine $\mathbb{C}^4$ par l'étude naïve des actions du groupe additif.