Une vraie topologie sur les espaces p-adiques : la théorie de Berkovich.

Bien que les corps p-adiques soient totalement discontinus, Berkovich a développé une approche permettant de faire de la géométrie analytique sur ces derniers en ayant affaire à  des espaces localement connexes par arcs réels ; sa méthode consiste essentiellement à  rajouter beaucoup de points aux espaces naïfs pour obtenir de bonnes propriétés topologiques. Après l'avoir présentée, j'évoquerai succinctement ses nombreuses applications dans des domaines variés (cycles évanescents, programme de Langlands, dynamique p-adique, variation de structures de Hodge complexe....) et mes résultats récents : bonnes propriétés des espaces de Berkovich du point de vue de l'algèbre commutative (excellence, etc.) et nouvelle approche du théorème de réduction semi-stable, fondée sur l'étude des revêtements des disques et l'exploitation de la topologie des espaces de Berkovich pour mettre en Å“uvre des procédés de recollement.