Une propriété de point fixe des groupes aléatoires

Nous montrons que pour toute densité, un groupe aléatoire de Gromov, défini dans le modèle dit à  densité satisfait (avec forte probabilité) une propriété de point fixe pour toute action dans un arbre. On en déduit que le bord d'un groupe aléatoire à  densité strictement inferieure à  1/2 est (avec forte probabilité) une éponge de Menger. (Ce résultat est dû à  Champetier dans le cas des petites densités.) C'est un travail en commun avec P. Przytycki et V. Guirardel.