Temps d'absorption markoviens et valeurs propres de Dirichlet

Considérons une chaîne de Markov finie et absorbée, supposée
irréductible et réversible en dehors du point absorbant. On montrera que son temps d'absorption est distribué suivant un mélange (dont les coefficients dépendent de la loi initiale, supposée
ne pas charger le point absorbant) de sommes de lois géométriques
de paramètres les valeurs propres de Dirichlet correspondantes, du moins si celles-ci sont supposées toutes positives.

On étendra ensuite ce résultat au temps continu, les géométriques
étant remplacées par des exponentielles, puis on décrira l'influence
des éventuelles valeurs propres négatives en temps discret. Ceci fournira une interprétation probabiliste des valeurs propres de
Dirichlet, par le biais d'entrelacements markoviens et d'équilibres locaux. Cette étude s'étend également à la convergence à l'équilibre de chaînes ou de processus de Markov irréductibles, grâce aux temps forts de stationnarité.