Surfaces plates sans patron convexe

(d'après un travail avec Barak Weiss) Une surface de translation est une réunion finie de polygones disjoints du plan après identification par translation de paires de côtés parallèles et de même longueur d'orientation opposée. La collection de polygones est un patron de cette surface de translation. Il n'est pas unique car on peut découper, déplacer et recoller des morceaux par translation.
L'exemple de base est le tore plat obtenu en identifiant les côtés opposés d'un carré. Ce carré, les triangles de part et d'autre de sa diagonale, ou un parallélogramme obtenu en recollant différemment ces triangles, sont des patrons différents du même tore.
Un pentagone régulier et son image miroir selon un des côtés forment un octogone non convexe à  symétrie centrale; en identifiant ses côtés opposés on obtient une surface de translation de genre deux dont Veech a montré qu'elle n'a aucun patron convexe.
Quelles surfaces de translation n'admettent aucun patron convexe ?