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L'exposé est basé sur un travail en commun avec Hubert Flenner (Bochum) et Shulim Kaliman (Miami).
Une classification des surfaces affines portant une bonne (ou bien elliptique) action $\C^*$ est connue depuis les travaux de Bia\l
ynicki-Birula, Orlik et Wagreich, Fieseler et L.\ Kaup, parmi
d'autres. Il y a aussi des surfaces affines portant des action
$\C^*$ paraboliques ou hyperboliques. L'algèbre graduée associée
admet une présentation élégante dite présentation de
Dolgachev-Pinkham-Demazure ou bien
présentation DPD. Il est
possible d'exprimer, en termes de cette présentation, tous les
invariants importants géométriques de la surface et de l'action.
Étant donnée une surface affine normale, on peut lui attribuer
autant de présentations DPD qu'il y a de classes de
conjugaison de sous-groupes $\C^*$ dans son groupe
d'automorphismes. Ce dernier est souvent de dimension infinie.
Dans la plupart des cas, une telle présentation DPD, et donc une
telle classe de conjugaison, est unique à une
équivalence naturelle près. Cependant, il y a des
exceptions. Dans l'exposé, nous allons nous concentrer sur les cas
exceptionnels, en tâchant de donner une classification complète
pour les surfaces affines lisses, au moins.
