Sur les variétés de Fano de degré dix

La liste des variétés de Fano lisses X de dimension 3 de groupe de Picard Z
contient 17 familles projectives. Toutes les X de 8 de ces 17 familles sont rationnelles, pour 3 des 9 autres familles
non-rationnelles a lieu le théorème de Torelli, et pour 4 des 6 familles qui restent on sait que deux variétés différentes de la même famille ne peuvent pas être birationnelles entre elles.
Les deux dernières familles sont les variétés de Fano X(14) de degré 14 (qui sont birationnelles aux cubiques) et les variétés X(10) de degré 10. Notre observation est que deux variétés X(10)
différentes peuvent être birationnelles entre elles, ce qui montre en particulier que le théorème de Torelli n'a pas lieu pour ces variétés. Davantage, nous décrivons deux composantes de dimension deux de la fibre de l'application des périodes pour X(10).
C'est un travail en progrès en commun avec Laurent Manivel et Olivier Debarre.