Sur le spectre semi-classique d'un système intégrable de dimension 1 autour d'une singularité hyperbolique

Dans la limite des grandes valeurs propres, l'asymptotique du spectre de l'opérateur de Schrödinger : $H=-\frac{h^{2}}{2}\Delta_{g}+V\Delta_{g}$ étant le laplacien d'une variété riemannienne $(M,g)$, et $h$ le paramètre semi-classique (paramètre positif); ou plus généralement d'un opérateur pseudo-différentiel, est remarquablement liée à  une géométrie sous-jacente. Celle-ci vit sur le fibré cotangent $T^{*}M$, vu comme une variété symplectique. C'est d'ailleurs le même phénomène qui permet de voir la mécanique classique comme limite de la mécanique quantique. Le spectre semi-classique d'un opérateur de Schrödinger en dimension 1 est bien connu dans les zones dites elliptiques, c'est-à -dire en dehors des maxima locaux de la fonction potentiel $V$. Dans cet exposé on se concentre sur le cas d'un opérateur de Schrödinger avec un potentiel type double puits. Une des motivations concerne l'étude des singularités de l'application moment d'un système complètement intégrable. En effet, l'opérateur de Schrödinger avec double puits est le modèle type pour les singularités non-dégénérées de type hyperbolique. Au début de l'exposé on fera quelques courts rappels sur l'analyse microlocale, ensuite en utilisant les travaux d'Y. Colin de Verdière et de B. Parisse, on va montrer que dans un certain voisinage de la singularité le spectre de l'opérateur est constitué de deux familles de réels en quinconce, et que l'interstice spectral est de l'ordre de $O(h/\left|\ln(h)\right|)$.