Sur la dimension essentielle des p-groupes cycliques

Soit $p$ un nombre premier, et $k$ un corps de caractéristique différente de $p$. On s'intéresse au calcul de la dimension essentielle sur $k$ d'un $p$-groupe cyclique, i.e. de la forme $\mathbb Z / p^r \mathbb Z$. En première approximation, il s'agit du nombre minimal de paramètres algébriquement indépendants requis pour définir une extension galoisienne de groupe $\mathbb Z / p^r \mathbb Z$ sur une extension quelconque de $k$. Même lorsque $k=\mathbb Q$, cette question est très délicate, et loin d'être résolue. Dans cette exposé, nous calculons cette dimension essentielle lorsque $k$ contient les racines $p$-ièmes de l'unité. Notons que ce résultat a été réobtenu récemment, sous une forme bien plus générale, par Karpenko et Merkurjev.