Sur la chirurgie de Dehn II : Remplissages exceptionnels I

Un aspect important de l'opération est que
certaines propriétés géométriques et topologiques
d'une 3-variété persistent, au moins
génériquement, dans ces remplissages.

Un remplissage d'une 3-variété hyperbolique M
(complète de volume finie et avec un seul cusp)
est dit exceptionnel si la 3-variété en résultant
n'est pas hyperbolique. Le théorème de
géométrisation de Perelman implique qu'un
remplissage est exceptionnel si et seulement si
il est une variété réductible, toroïdale ou
Seifert. W. Thurston a démontré il y a trente ans
qu'il n'y a qu'un nombre fini de remplissages
exceptionnels de M et depuis ce temps, beaucoup
d'efforts ont été consacrés aux deux problèmes
suivants :

A) Comprendre la structure de l'ensemble des remplissages exceptionnels.

B) Décrire la topologie des 3-variétés
hyperboliques qui admettent plus d'un remplissage
exceptionnel.

Un théorème récent de Yi Ni illustre bien (B).
L'extérieur d'un noeud hyperbolique dans la
3-sphère admet au moins un remplissage
exceptionnel - le remplissage qui redonne la
3-sphère. Yi Ni a démontré que s'il il existe un
autre remplissage qui donne une 3-variété donc le
groupe fondamental est cyclique, alors le noeud
est fibré.

La conjecture principale concernant le problème (A)
est dûe a Cameron McA. Gordon : il existe au plus
dix remplissages exceptionnels d'une 3-variété
hyperbolique M et la distance entre deux tels
remplissages est au plus huit. De plus, si M
n'est pas parmi quatres variétés
particulières, il existe au plus 7 remplissages
exceptionnels et la distance entre deux tels
remplissages est au plus cinq. Marc Lackenby et
Bob Meyerhoff ont récemment énoncé une résolution
de la première partie de cette conjecture. Je
discuterai des résultats concernant la deuxième
partie et en particulier je donnerai un survol
des méthodes utilisées afin de l'étudier.