Sections aléatoires, mesures d'équilibres et noyaux de Bergman.

Soit L un fibré en droites sur une variété projective X. Etant donnée une norme hilbertienne sur l'espace H(k) des sections holomorphes globales à  valeurs dans le produit tensoriel L^k, on peux étudier le comportement d'une section aléatoire quand la puissance k tend vers l'infini (la distribution des zéros et de la masse de la norme). Quand la norme sur H(k) est définie par une métrique lisse (mais pas nécessairement de courbure positive) je vais montrer que ces distributions sont données par une certaine mesure d'équilibre associée à  la métrique donnée sur L. La
démonstration utilise la convergence des noyaux de Bergman. Quand L est grand (big) on obtient ainsi une version locale ou métrique du théorème de Fujita sur les décompositions de Zariski approximatives (et de la version restreinte du
théorème de Fujita, étudiée récemment par Tsuji, Takayama et
Ein-Lazarsfeld-Mustata-Nakamaye-Popa).

Dans le cas où X est la droite projective une partie de ces résultats ont déjà  été démontrés récemment dans l'étude des matrices normales aléatoires initiée par des physiciens. En bref, les zéros se comportent comme des charges interagissant avec un potentiel extérieur (la métrique sur L).