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``Scars'' (d'après Nalini Anantharaman et Stéphane Nonnenmacher).

Jeudi, 10 Mai, 2007 - 16:00
Prénom de l'orateur : 
Yves
Nom de l'orateur : 
COLIN DE VERDIÈRE
Résumé : 

Si $(\phi_j)_{j\in {\bf N}}$ est une base orthonormée de fonctions propres du
laplacien d'une variété riemanienne compacte, on s'intéresse au
comportement asymptotique des $\phi_j$ quand $j \rightarrow +\infty $
(la limite de la mécanique ``classique''). Dans le cas où le flot
géodésique est ``chaotique'', cette question remonte aux années 80 où
des traces (popularisées par Eric Heller sous
le nom de ``scars'', i.e. ``cicatrices'')
des géodésiques périodiques apparaissent
dans le calcul numérique des $\phi_j$.

Une définition précise des ``scars'' en termes de mesures de
probabilités
invariantes
sur l'espace des phases conduit à  la notion de ``mesure quantique'' :
ce sont certaines probabilités, invariantes par le flot
géodésique sur l'espace des phases,
associées à  des sous-suites de la suite $(\phi_j)$.

Des exemples de ``scars'' ont
été mis en évidence par Stéphane de Bièvre, Frédéric Faure
et Stéphane Nonnenmacher dans le cas
du chat d'Arnold quantique. Nalini Anantharaman
d'abord seule, puis avec Stéphane Nonnenmacher, a prouvé
que l'entropie de Komogorov-Sinaï des mesures quantiques
pour les variétés à  courbure $<0$ est srictement
positive et minorée explicitement en
termes de la dynamique des géodésiques.

Thème de recherche : 
Théorie spectrale et géométrie
Salle : 
1 tour Irma
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