Pierre Patie

Dans cet exposé je vais présenter une méthode originale qui permet d'obtenir une représentation spectrale d'une classe de semigroupes invariants et markoviens dont le générateur est un opérateur linéaire non auto-adjoint et non local. Sa partie non locale s'exprime sous la forme d'un opérateur fractionnaire de Caputo généralisé. Notre approche s'appuie sur une étude approfondie d'une relation d'entrelacement que nous établissons entre cette famille et un semigroupe markovien auto-adjoint dont la réduction spectrale est bien connue et s'exprime en termes des polynômes de Laguerre. Parmi les différents résultats qui peuvent se déduire de la représentation spectrale nous nous attarderons sur le problème de la détermination de la vitesse de convergence vers l'équilibre. Dans le cas particulier de "petites" perturbations, nous obtenons le phénomène d'hypocoercivité, introduit par Villani et observé récemment dans différents contextes, que nous arrivons à expliquer en terme de la norme spectrale. Ceci est un travail en commun avec M. Savov.