Jordan Emme

On s'intéresse à des densités d'ensembles définis via la fonction somme des chiffres en base deux $s_2$. Plus précisément, pour chaque entier naturel $a$ et pour chaque entier relatif $d$, on s'intéresse à la densité de l'ensemble des entiers naturel $n$ tels que $s_2(n+a)-s_2(n)=d$. On appelle cette densité $\mu_a(d)$ et on remarque que $\mu_a$ est une mesure de probabilité sur $\mathbb{Z}$. Ces ensembles interviennent naturellement en arithmétique, notamment dans les travaux de Bésineau sur les corrélations de certaines fonctions arithmétiques. Notre approche est différente, nous étudions les solutions de $s_2(n+a)-s_2(n)=d$ et en déduisons des relations de récurrence sur la suite de probabilités $(\mu_a)_{a\in \mathbb{N}}$. Ceci permet d'exprimer $\mu_a$ comme produit de matrices. À partir de cette expression nous donnons des propriétés asymptotiques de cette mesure de probabilité lorsque $a$ tend vers l'infini (en un sens plus précis que nous donnerons). Par exemple nous montrons que la norme $l^2$ de cette mesure tend vers zéro lorsque $a$ tend vers l'infini. Nous avons par ailleurs des bornes sur la variance de $\mu_a$ pour $a$ "assez grand". Enfin, dans un travail en commun avec Pascal Hubert reprenant ces résultats, nous montrons que pour des suites d'entiers $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ bien choisies, $\mu_a$ vérifie un théorème de type central limite.