Jean-François Marckert

Il s'agit d'un travail commun avec Jérôme Casse (LaBRI, Bordeaux).

Prenez au temps 0, un processus Y[0]=(Y_x[0],x in Z) indéxé par Z à
valeurs dans un ensemble fini E. Supposez maintenant qu'au temps 1,
la valeur de Y[1]=(Y_x[1],x in Z) est obtenue comme suit :

- conditionnellement à Y[0], les Y_x[1] sont indépendants.

- on met à jour simultanément toutes les valeurs au temps 1;
la loi de Y_x[1] dépend de l'état des deux voisins à la position
x et x+1 au temps 0: Conditionnellement à (Y_x[0],Y_x+1[0])=(y,y'),
Y_x[1] vaut z avec proba T[y,y',z].

La matrice de transition T est cruciale bien sûr, et est le paramêtre
du modèle.

Cet "automate cellulaire probabiliste" peut-être vu comme une application
A[T] dans l'ensemble des mesures qui envoie la loi de Y[0] sur la loi de Y[1].

Les questions habituelles se posent: Est-ce que A[T] est ergodique ?
Quels sont les mesures invariantes ?

Il faut savoir que bien qu'étudiés depuis très longtemps en lien avec
certains modèles de physique stat et de combinatoire, la plupart
des questions intéressantes résistent.
Dans cet exposé je donnerai une condition nécessaire et suffisante sur T
pour que la loi d'une chaîne de Markov soit invariante par A[T]. Ce
résultat était connu pour E espace à 2 états seulement.