Ilia Smilga

Dans un travail classique, Bowen et Margulis ont démontré 
l'équidistribution des géodésiques fermées dans n'importe quelle variété 
hyperbolique. Avec Jeremy Kahn et Vladimir Marković, nous nous sommes 
demandés ce qui se passait si on remplaçait les courbes par des surfaces.

Les analogues naturels des géodésiques fermées sont alors les surfaces 
minimales, car les surfaces totalement géodésiques n'existent que très 
rarement. D'autre part, il est néanmoins pertinent (pour plusieurs 
raisons, notamment pour garantir l'unicité du représentant minimal) de 
se restreindre à des surfaces qui sont presque totalement géodésiques. 
Les statistiques de ces surfaces dépendent alors très fortement de la 
façon dont on les ordonne : par genre, ou par superficie.

Si on considère des surfaces dont la *superficie* tend vers l'infini, 
nous conjecturons qu'elles s'équidistribuent, à l'instar des courbes ; 
nous avons démontré un résultat partiel dans cette direction. Si on 
considère en revanche des surfaces dont le *genre* tend vers l'infini, 
la situation est radicalement différente : nous avons démontré qu'elles 
s'accumulent alors sur les surfaces totalement géodésiques (pour peu 
qu'il en existe).