Giovanni Lazzarini

Soit $L$ un réseau de rang maximum dans $\mathbb{R}^{n}$ : sa hauteur $h(L)$ est définie comme la dérivée en $s=0$ de la fonction zêta spectrale de $L$. Cette dernière est la régularisation à zêta du laplacien sur le tore associé à $L$, et essentiellement coïncide avec la fonction zêta d'Esptein du réseau dual $L^*$.

Un problème ouvert en géométrie des nombres est l'étude des minima de la hauteur, quand $L$ parcourt l'ensemble des réseaux de covolume $1$. Par exemple on sait que le minimum global existe en toute dimension $n$.

Dans cet exposé, nous montrerons une connexion entre ce problème et la théorie des designs sphériques : en particulier, nous montrerons qu'un réseau qui a un $2$-design sphérique sur toutes ses couches est un point stationnaire pour la hauteur.

Ensuite, nous décrirons un algorithme qui permet de tester si un réseau donné vérifie la condition d'avoir des $2$-designs sur toutes les couches.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Renaud Coulangeon.