Finitude géométrique en géométrie de Hilbert

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Ludovic Marquis. En géométrie hyperbolique (ou de courbure négative pincée), les variétés (ou orbifolds) géométriquement finies sont en quelque sorte les variétés les plus simples après les variétés compactes. Il revient
à  Bowditch d'avoir réellement mis au clair cette notion dans les années 90.
Je présenterai ce qu'il se passe lorsqu'on essaie d'étendre cette définition aux géométries de Hilbert, du moins à  certaines d'entre elles qui présentent un minimum de caractère hyperbolique. Ce cadre inclut en particulier les géométries de Hilbert qui sont Gromov-hyperboliques mais ne s'y limite pas.
Il s'avère que la définition traditionnelle pour les espaces Gromov-hyperboliques, via la nature des points de l'ensemble limite, ne va pas suffire ici, du moins en général. En faisant une hypothèse un peu plus forte, on retrouve par contre les caractéristiques géométriques classiques des variétés géométriquement finis. Dans l'exposé, je m'attacherai principalement à  montrer les phénomènes spécifiques aux géométries de Hilbert : pourquoi la définition
traditionnelle ne marche pas, quels sont les groupes paraboliques... Si j'ai le temps, je parlerai aussi de ce qu'on peut dire de la dynamique du flot géodésique sur certaines de ces variétés géométriquement finies.