Des contre-exemples contractiles aux problèmes de simplification et d'Abhyankar-Sathaye

Les conjectures de simplification et d'Abhyankar-Sathaye sont des questions concernant les espaces affines C^n.
La première demande si une isomorphie de la forme X x C simeq C^(n+1) implique que la variété algébrique affine X est isomorphe à  C^n. La seconde demande si tous les plongements fermés de C^n dans C^(n+1) sont équivalents.

Dans cet exposé, nous en donnerons des contre-exemples dans un cadre un peu plus général. Plus précisément, nous construirons (sur le même modèle que la célèbre cubique de Russell) des variétés X et Y de dimension trois, affines lisses contractiles (et donc difféomorphes à  C^3), dont les cylindres X x C et Y x C sont isomorphes bien que X et Y ne le soient pas. Par ailleurs, nous montrerons que ces variétés admettent des plongements non équivalents dans C^4.

Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Adrien Dubouloz et Lucy Moser-Jauslin.