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Le thème général est la recherche d'outils concrets pour l'étude des
représentations de dimension finie d'un groupe réductif complexe G. Comme d'habitude, on choisit un tore maximal, une base du système de racines et une normalisation des vecteurs de racines simples de l'algèbre de Lie, disons (e_i). Une base d'une représentation (V,
ho) est dite « *-bonne » si elle est formée de vecteurs de poids et si l'image de chaque opérateur
ho(e_i)^n est un sous-espace de coordonnées. La connaissance d'une base *-bonne permet de déterminer de façon précise les produits tensoriels de V avec une représentation simple ou la restriction de V aux sous-groupes de Levi standards. Les différentes constructions connues de bases *-bonnes recèlent une structure combinatoire commune : les cristaux de Kashiwara. Ils peuvent être vus comme la généralisation des tableaux de Young aux groupes autres que GL_n.
D'un autre côté, en « catégorisant » l'isomorphisme classique de Satake, on obtient un lien entre théorie des représentations de G et géométrie de la grassmannienne affine Gr du dual de Langlands de G. En particulier, pour chaque poids entier dominant lambda, le G-module simple rationnel de plus haut poids lambda peut être identifié à l'homologie d'intersection d'une sous-variété fermée singulière overline{Gr_lambda} de Gr. Mirkovic et Vilonen ont construit une base de cette homologie d'intersection indexée par une famille de cycles dans Gr_lambda, les cycles MV. De plus, on peut munir cette famille de cycles d'une structure de cristal de Kashiwara.
Dans l'exposé, j'expliquerai pourquoi la base de Mirkovic et Vilonen
est *-bonne et comment la combinatoire des cristaux permet de donner une description explicite des cycles MV.
