C'est-à-dire que la courbe paramétrée par t
admet comme vecteur vitesse à l'instant t
le vecteur va (figure 4,
p.
).
Figure: Le flot d'un champ de vecteur.
Exemple: dérivée de Lie selon v d'un champ de vecteur w.
Graphiquement, on représente le champ de vecteurs w au point
M par , on suit alors le flot de v en partant
du point M et du point
, ce qui déforme le vecteur w
(figure 5, p.
). (Bien entendu, il
faut choisir le point
très voisin de M dans la direction
de w(M)).
Figure: Transformation d'un vecteur le long du flot d'un
autre champ de vecteurs.
Calculons en coordonnées locales . On a:
Donc:
et:
ou en coordonnées:
finalement la dérivée de Lie d'un champ de vceteur est égale au crochet de Lie de ce champ de vecteurs avec le champ par rapport auquel on dérive: