une application 
de 
.
On rappelle que:
et:
Supposons maintenant que est un difféomorphisme de M dans
lui-même. Si on se donne un champ de vecteur v, on peut en déduire
deux champs de vecteurs en faisant agir sur v soit , soit
. On définit ainsi:
et:
Soit f une fonction sur M, on a:
par linéarité de l'application linéaire tangente. On pose donc:
De même, on pose:
On définit l'action de 
et
de 
sur les 1-formes par:
de sorte que 
.
Appliquons la relation
à 
:
on a donc:
On peut maintenant étendre la définition de et
aux tenseurs en imposant:
et de même pour .