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Josha Box & Samuel Le Fourn, Bounding integral points on the Siegel modular variety $A_2(2)$, soumis
[ arXiv ].
[+] Résumé
We determine two explicit upper bounds for the stable Faltings height of principally polarised abelian surfaces over number fields corresponding to $S$-integral points on the Siegel modular variety $A_2(2)$. One upper bound, using Runge's method, is uniform in S as long as $|S|<3$; the other, using Baker's method, is not uniform but allows $|S|<10$. Our application of a higher-dimensional Baker's method is completely explicit and improves upon the general case due to Levin.
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Samuel Le Fourn & Pedro Lemos, Residual Galois representations of elliptic curves
with image contained in the normaliser of a non-split Cartan, Algebra & Number Theory , 2021
[arXiv | DOI].
[+] Résumé
It is known that if $p>37$ is a prime number and $E/\mathbb{Q}$ is an elliptic curve without complex multiplication, then the image of the mod $p$ Galois representation \begin{equation*} \bar{\rho}_{E,p}:\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \operatorname{GL}(E[p]) \end{equation*}
of $E$ is either the whole of $\operatorname{GL}(E[p])$, or is \emph{contained} in the normaliser of a non-split Cartan subgroup of $\operatorname{GL}(E[p])$. In this paper, we show that when $p>1.4\times 10^7$, the image of $\bar{\rho}_{E,p}$ is either $\operatorname{GL}(E[p])$, or the \emph{full} normaliser of a non-split Cartan subgroup. We use this to show the following result, partially settling a question of Najman. For $d\geq 1$, let $I(d)$ denote the set of primes $p$ for which there exists an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$ and without complex multiplication admitting a degree $p$ isogeny defined over a number field of degree $\leq d$. We show that, for $d\geq 1.4\times 10^7$, we have
\begin{equation*}
I(d)=\{p\text{ prime}:p\leq d-1\}.
\end{equation*}
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Netan Dogra & Samuel Le Fourn, Quadratic Chabauty for modular curves and modular forms of rank one, Mathematische Annalen , 2020
[ arXiv |DOI].
[+] Résumé
In this paper, we provide refined sufficient conditions for the quadratic
Chabauty method to produce a finite set of points, with the conditions on
the rank of the Jacobian replaced by conditions on the rank of a quotient of
the Jacobian plus an associated space of Chow-Heegner points. We then
apply this condition to prove the finiteness of this set for any modular
curves $X_0^+(N)$ and $X_{\rm{ns}}^+(N)$ of genus at least 2 with $N$ prime. The proof relies on the existence of a quotient of their Jacobians whose Mordell-Weil
rank is equal to its dimension (and at least 2), which is proven via analytic
estimates for orders of vanishing of L-functions of modular forms, thanks
to a Kolyvagin-Logachev type result.
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Samuel Le Fourn, Tubular approaches to Baker's method on curves and varieties, Algebra & Number Theory , 2020
[arXiv |
bib|
DOI ]
[+] Résumé
La méthode de Baker, basée sur des estimations des formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques, permet de prouver dans de multiples situations la finitude effective d'ensembles de points entiers de variétés algébriques. Dans cet article, nous généralisons des résultats de Levin sur la méthode de Baker pour les variétés, et expliquons comment, de manière inattendue, elle peut se combiner (sous des hypothèses supplémentaires) avec la méthode de Runge pour améliorer certaines estimations y compris dans le cas des courbes, en évitant (ou du moins réduisant) le recours aux formes linéaires de logarithmes $p$-adiques.
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Samuel Le Fourn & Filip Najman,
Torsion of $\Q$-curves over quadratic fields, Mathematical Research Letters, 2020
[ arXiv |
bib|
DOI ].
[+] Résumé
Nous trouvons tous les groupes de points de torsion possibles de $\Q$-courbes sur des corps quadratiques et déterminons lesquels apparaissent finiment ou infinimenent souvent.
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Samuel Le Fourn,
A tubular variant of Runge's method in all dimensions, with applications to integral points on Siegel modular varieties, Algebra & Number Theory , 2019
[ arXiv |
bib|
DOI |
Sage worksheet ]
[+] Résumé
La méthode de Runge est un outil pour déterminer les points entiers sur certaines courbes de manière effective en termes de hauteur.
Elle a été généralisée à des variétés de dimension quelconque, mais ses conditions d'application sont alors souvent trop restrictives.
Dans cet article, nous donnons une généralisation supplémentaire conçue pour plus de flexilibilité tout en restant effective, et en donnons un exemple d'application
sous forme d'un résultat de finitude de points entiers sur certaines variétés modulaires de Siegel. En particulier, nous obtenons
finalement un résultat de finitude totalement explicite pour les points entiers de la variété modulaire de Siegel $A_2(2)$.
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Samuel Le Fourn,
Sur la méthode de Runge et les points entiers de
certaines variétés modulaires de Siegel, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 2017
[ arXiv |
bib|
DOI ].
[+] Résumé
Nous présentons des résultats sur les points entiers de certaines variétés modulaires. Ceux-ci sont basés sur une généralisation de la méthode dite de Runge en
dimension supérieure, que nous commençons par expliquer. En particulier, nous obtenons un résultat explicite dans le cas de la variété modulaire de Siegel $A_2(2)$.
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Samuel Le Fourn,
Nonvanishing of central values of ${L}$-functions of newforms in ${S}_2 ({\Gamma}_0 (dp^2))$ twisted by quadratic characters,
Canadian Mathematical Bulletin , 2017.
[ arXiv |
bib|
DOI]
[+] Résumé
Nous prouvons que pour $d \in \{ 2,3,5,7,13 \}$ et $K$ un corps quadratique réel (ou rationnel) de discriminant $D$ et caractère de Dirichlet $\chi$, si un nombre premier $p$ est assez grand par rapport à $D$, il existe une forme nouvelle $f \in S_2(\Gamma_0(dp^2))$ de signe $(+1)$ pour l'involution d'Atkin-Lehner $w_{p^2}$ telle que $L(f \otimes \chi,1) \neq 0$. Ce résultat est obtenu grâce à une estimation de sommes pondérées de tordues de fonctions L, qui généralise un résultat d'Ellenberg. Celle-ci se base sur une 'équation fonctionnelle approchée pour les fonctions $L(f \otimes \chi, \cdot)$ et une formule des traces de Petersson restreinte aux espaces propres pour les involutions d'Atkin-Lehner. Une application de ce théorème de non-annulation est donnée en termes d'existence de quotient rang zéro de certaines tordues de jacobiennes tordues, ce qui généralise un résultat de Darmon et Merel.
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Samuel Le Fourn,
Surjectivity of Galois representations associated with quadratic $\Q$-curves,
Mathematische Annalen, 2016.
[ arXiv |
bib|
DOI]
[+] Résumé
Nous prouvons dans cet article un résultat de surjectivité uniforme pour les représentations galoisiennes associées à des $\Q$-courbes non CM sur des corps quadratiques imaginaires, en utilisant divers outils tels que la méthode de Mazur, des théorèmes d'isogénie, la méthode de Runge et des estimations analytiques de sommes de fonctions L.
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