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Noyau parfait des groupes de Baumslag-Solitar généralisés
Muni de la topologie de Chabauty, l'espace des sous-groupes Sub(G) d'un groupe infini dénombrable G est un sous-ensemble fermé de l'espace de Cantor sur lequel G agit par conjugaison. Il contient un sous-ensemble K(G) fermé sans point isolé et maximal pour l'inclusion, appelé noyau parfait de G. Ce fermé est invariant par conjugaison.
Dans cet exposé, nous verrons que l'action d'un groupe G sur un arbre orienté T peut donner des informations sur le noyau parfait de G et sur la dynamique induite par l'action par conjugaison de G sur K(G). En 2023, Azuelos et Gaboriau ont prouvé qu'une action acylindrique donnait lieu à une orbite dense dans l'adhérence de l'ensemble $S_{\infty}(G,T)$ des sous-groupes de G agissant sur T avec une infinité d'orbites d'arêtes, et que cet ensemble était contenu dans le noyau parfait.
Dans la continuité du travail effectué par Carderi, Gaboriau, Le Maître et Stalder sur les groupes de Baumslag-Solitar, on étudie l'espace des sous-groupes des groupes de Baumslag-Solitar généralisés non moyennables, i.e. des groupes agissant de façon cocompacte sur un arbre orienté avec stabilisateurs de sommets et d'arêtes cycliques infinis. Ce sont des exemples typiques d'actions non acylindriques.
Cela induit une dynamique très différente sur le noyau parfait d'un tel groupe G. Nous montrons que le noyau parfait consiste exactement en l'ensemble $S_{\infty}(G,T)$ et qu'il existe une partition infinie dénombrable du noyau parfait telle que :
- une pièce de cette décomposition est fermée, toutes les autres sont ouvertes (et fermées ssi G est virtuellement le produit direct d'un groupe libre avec Z) ;
- il existe une orbite dense dans chaque pièce.
De plus, cette partition est calculable à partir du graphe de groupes de G, dans le formalisme de Bass-Serre.
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