On étudie plusieurs structures arithmétiques et topologiques sur l'ensemble des classes de conjugaison du groupe modulaire PSL(2;Z), comme des relations d'équivalence ou des fonctions bilinéaires.

Le groupe modulaire PSL(2;Z) agit sur le plan hyperbolique avec pour quotient la surface modulaire M, dont les géodésiques fermées orientées correspondent aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Pour un corps K contenant Q, on dit que deux matrices de PSL(2;Z) sont K-équivalentes si elles sont conjuguées par un élément de PSL(2;K). Pour K=C cela revient à regrouper les géodésiques modulaires de même longueur. Pour K=Q on obtient un raffinement de cette relation d'équivalence, et l'on en donnera une interprétation géométrique en termes des géodésiques modulaires (angles aux points d'intersection et longueurs des ortho-géodésiques).

Le fibré tangent unitaire U de l'orbifold modulaire M est une variété de dimension 3 homéomorphe au complémentaire d'un noeud de trèfle dans la sphère. Les noeuds modulaires dans U sont les orbites périodiques du flot géodésique, relevés des géodésiques fermées orientées de M, et correspondent aussi aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Leur enlacement avec le noeud de trèfle est bien compris et on s'intéresse aux nombres d'enlacement entre ces noeuds modulaires. On associe à deux noeuds modulaires une fonction définie sur la variété des caractères de PSL(2;Z), dont la limite au bord retrouve leur enlacement.