La notion d'équivalence mesurée, introduite par Gromov, est un analogue mesurable à la quasi-isométrie entre groupes de type fini. Elle a des applications à des problèmes de nature géométrique (classification des plongements possibles d'un groupe comme réseau dans un autre, description des automorphismes de graphes de Cayley), ergodique (équivalence orbitale entre actions de groupes préservant une mesure de probabilité), ou issus des algèbres d'opérateurs (classification des algèbres de von Neumann associées à de telles actions de groupes). Dans cet exposé, après avoir détaillé ces motivations, je présenterai en les comparant des résultats de rigidité obtenus pour plusieurs familles de groupes présentant des phénomènes de courbure négative : entre autres, groupes modulaires de surfaces, groupes d'automorphismes extérieurs de groupes libres, et certaines familles de groupes d'Artin-Tits. Cet exposé repose sur des travaux en commun avec Guirardel, Hensel, Huang et Lécureux.