En 1950, Paul Erdos a posé la conjecture suivante: s'il existe des suites arithmétiques disjointes dont l'union est l'ensemble des entiers alors il existe au moins deux suites dont la raison est la même. On peut décrire ce problème en d'autres termes: si Z est l'union disjointe de cosets de sous-groupes d'indices finis alors il existe au moins deux sous-groupes du même indice. Cette conjecture a été prouvée assez rapidement par L. Mirsky et D.J. Newman (non publiée) et indépendamment par R. Rado et H. Davenport en utilisant l'analyse complexe. Il existe aussi une preuve plus récente de Yuval Ginosar qui utilise la théorie de la représentation. 

En 1974, Marcel Herzog et Jochanan Schonheim posent la conjecture suivante: étant donné un groupe quelconque G, si G est l'union disjointe de cosets de sous-groupes d'indices finis alors il existe au moins deux sous-groupes du même indice. Cette conjecture n'a pas été résolue jusqu'à ce jour. Les résultats majeurs dans cette direction sont ceux de  M.A. Berger, A. Felzenbaum and A.S. Fraenkel, qui dans une série de papiers (1985-87) ont prouvé que la conjecture est vraie pour une sous-classe des groupes solubles finis (les groupes pyramidals). L'approche générale est de considérer le problème pour un groupe fini. Dans cet exposé, je vais présenter une approche complètement différente, qui consiste à étudier le problème dans les groupes libres et à utiliser la théorie des revêtements.