On présente une énumération des trajectoires périodiques pour le billard
dans un polygone régulier à nombre impair n de côtés. Cette énumération
s'appuie sur un analogue de l'arbre de Farey ou de Stern-Brocot, adapté
au groupe triangulaire (2, n, infini). On peut y voir un algorithme de
pgcd pour certaines paires d'entiers algébriques. Dans le cas n = 5
(billard dans le pentagone régulier), le nombre d'or phi est en vedette,
et l'algorithme de pgcd concerne toutes les paires d'éléments de ZZ[phi],
l'anneau des entiers du corps de nombres QQ(phi) ou QQ(racine(5)).
Travail avec Diana Davis, où SageMath aide aux calculs et aux dessins.