La variété des caractères d'un groupe de présentation finie $\Gamma=<x_1,...,x_k | r_1=...=r_r=1>$ à valeurs dans $SL(2,C)$ ou plus généralement dans un groupe de Lie complexe semisimple G est un espace qui paramétrise à conjugaison près les représentations de $\Gamma$ dans G. La partie Z formée des représentations d'image Zariski-dense est un ouvert particulièrement intéressant. On veut connaître sa dimension, savoir si elle est irréductible comme variété algébrique, estimer le nombre de ses composantes irréductibles et l'action du groupe de Galois dessus. Nous répondons à ces questions lorsque $\Gamma$ est "générique", c'est-à-dire un groupe aléatoire où les relateurs sont choisis au hasard et de longueur tendant vers l'infini. Les preuves sont conditionnelles à l'hypothèse de Riemann généralisée et exploitent les avancées récentes sur les groupes approximatifs des groupes finis simples de type de Lie. Travail en commun avec Péter Varjù et Oren Becker.