La métrique de Hilbert est une distance définie sur des ensembles convexes, ouverts et bornés. Elle généralise la métrique hyperbolique dans le model de Klein de l’espace hyperbolique, où l’ensemble convexe est la boule unité. L'étude des dégénérescences en géométrie de Hilbert conduit naturellement à remplacer les réels par un corps ordonné non-archimédien. Le but de cet exposé est d'introduire les ensembles convexes sur un tel corps et décrire leur métrique de Hilbert à travers plusieurs exemples. Ceci est un projet en collaboration avec Anne Parreau.