Le bord des horofonctions a été introduit par Gromov, et étudié principalement pour les groupes hyperboliques. Dans cet exposé, j'expliquerai pourquoi étudier l'action de groupes nilpotents sur leurs bords, en particulier trouver des orbites finies, peut être intéressant dans la direction du théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cette direction, Tointon-Yadin et Bader-Finkelshtein espéraient que le bord entier devrait être "petit" (dénombrable) et l'action "pas trop riche" dans le cas nilpotents. Je donnerai un modèle pour un groupe nilpotent de classe 3 qui permet de mieux comprendre la métrique sur ce groupe, et ainsi de réfuter ces deux conjectures. Ceci est travail commun avec Kenshiro Tashiro.