On considère des paires (X,D), où au choix : 

• X est une surface de Riemann (= une courbe algébrique complexe lisse) et D est la donnée d'un nombre fini de points sur X, et d'un coefficient entre 0 et 1 pour chacun de ces points ;
• X est une surface algébrique complexe lisse et D est la donnée d'un nombre fini de courbes dans X, et d'un coefficient entre 0 et 1 pour chaque courbe.

On expliquera dans cet exposé comment définir dans cette situation un groupe fondamental $\pi_1(X,D)$ satisfaisant une correspondance de Galois. 

Dans le cadre des groupes fondamentaux usuels de courbes et de surfaces lisses (c'est-à-dire quand D est vide), une condition de type "courbure positive" voire "courbure strictement positive" sur X contraint le groupe fondamental $\pi_1(X)$ à être virtuellement abélien voire fini.

Dans cet exposé, on expliquera comment l'ajout du diviseur D change la donne. On parlera aussi d'un travail en cours, en collaboration avec J. Moraga et Z. Liu, reliant une propriété des groupes fondamentaux $\pi_1(X,D)$ à une propriété du groupe de Cremona $Bir(P^2)$: si (X,D) est une paire considérée comme ci-dessus, de courbure (positive ou) nulle et "à singularités log canoniques", alors le groupe $\pi_1(X,D)$ contient un sous-groupe normal et nilpotent de longueur au plus deux, de rang total au plus quatre, et d'indice au plus 7200. La constante 7200 est optimale dans ce résultat, et est aussi la constante de Jordan du groupe de Cremona $Bir(P^2)$.