La dimension conforme d’un espace métrique a été introduite par P. Pansu, motivé par l’étude des quasi-isométries entre espaces espaces hyperboliques (comme invariant de leur bord). Elle est plus généralement adaptée à l’étude des espaces métriques auto-similaires, notamment les ensembles de Julia des fonctions rationnelles complexes hyperboliques, et plus généralement tout espace (X, p) muni d’une auto-revêtement (ramifié) dilatant. La dynamique des itérations d’un révêtement dilatant peut être codée par un groupe, appelé le groupe de monodromie itérée, qui agit sur un arbre enraciné. Ce groupe appartient à la classe des groupes dites auto-similaires contractant. Réciproquement à tout groupe auto-similaire contractant on peut associer un tel paire (X, p) dont il est le groupe de monodromie itérée. Mis a part ce lien avec la dynamique, les groupes auto-similaires contractants sont par ailleurs une source classique de groupes moyennables non élémentaires: le groupe de Grigorchuk de croissance intérmediaire est un exemple célèbre dans cette classe (qui contient cependant plusieurs exemples de croissance exponentielle). Il est une question ouverte si tout groupe auto-similaire contractant est moyennable.

Dans un travail en commun avec V. Nekrashevych et T. Zheng, nous montrons que si G est un groupe contractant, et si le système dynamique associé (X, p) est tel que la dimension conforme (Ahlfors-régulière) de X est <2, alors toute marche aléatoire sur G symétrique et avec deuxième moment fini a la propriété de Liouville (c’est-à-dire, son bord de Poisson est trivial). Cela implique en particulier que G est moyennable. Ce résultat s’applique à tous les exemples de groupes contractants dont la moyennabilité était connue, et à plusieurs autres exemples. En particulier, si f est une fonction rationnelle post-critiquement fini dont l’ensemble de Julia n’est pas toute la sphère, alors le groupe de monodromie itérée de f est moyennable.