La hauteur d’un nombre algébrique, introduite dans les années 50 par Northcott et Weil, est une fonction positive qui mesure la « complexité arithmétique » du nombre. Alors que les nombres de hauteurs 0 sont complètement classifiés par un théorème de Kronecker, de nombreuses questions restent ouvertes sur les nombres de hauteur petite mais pas nulle. 

L'une des questions que j'aborderai est, par exemple : étant donnée une extension algébrique K des rationnels, peut-elle contenir des nombres de hauteur arbitrairement petite ? 

Il est facile de voir que la réponse est non si K est un corps de nombres, mais dès que le degré de K sur les rationnels est infini, cela devient un problème généralement très difficile.  Dans cet exposé (accessible aux non spécialistes),  je montrerai comment, pour des extensions galoisiennes infinies des rationnels, les groupes de Galois nous permettent parfois de détecter l'absence de petits points.