L’espace des sous-groupes d’un groupe dénombrable est un espace topologique compact et métrisable muni d’une action naturelle du groupe ambiant (par conjugaison). Cet espace admet une décomposition invariante unique en un fermé parfait (le noyau parfait) et un ensemble dénombrable. 

Je parlerai de plusieurs méthodes pour trouver le noyau parfait de certains groupes ainsi que les conditions sous lesquelles l’action par conjugaison est (hautement) topologiquement transitive. Ces méthodes permettent de décrire le noyau parfait et d’établir la haute transitivité topologique pour de nombreuses classes de groupes, y compris les groupes de 3-variétés hyperboliques, les groupes limites non-abéliens (en particulier les groupes de surfaces hyperboliques), les produits libres, beaucoup de graphes de groupes libres à arêtes cycliques…

Ceci est un travail en commun avec Damien Gaboriau.