Quand on essaie de résoudre le problème de conjugaison dans les groupes de tresses et leurs généralisations, une stratégie est d'utiliser la théorie de Garside, et étudier, pour chaque élément $x$, un certain sous-ensemble fini caractéristique de sa classe de conjugaison, par exemple "l'ensemble ultra-sommital" $USS(x)$. L'étude de $USS(x^n)$ (pour des puissances de $x$) est étroitement liée à l'étude des propriétés géométriques de $x$, notamment la propriété de Morse. 
En déterminant, à l'aide d'un ordinateur, la suite $|USS(x^n)|$ pour un grand nombre de tresses $x$, nous avons observé un phénomène d'uniformité surprenant. Nous avons réussi à démontrer ce phénomène pour les tresses à trois et quatre brins, mais le cas général reste mystérieux. (En collaboration avec Matthieu Calvez et Juan González-Meneses.)