Cubuler un groupe, c’est le faire agir proprement et de maniere co-compacte sur un complexe cubique CAT(0). Cubuler certains groupes est un enjeu important. Les groupes libres sont cubulables (leurs arbres…), les groupes de surfaces hyperboliques sont cubulables, et pour la géométrie de dimension 3 il a été crucial (et difficile !) de cubuler les groupes de variétés de dimension 3 hyperboliques compactes (Bergeron Wise, Kahn Markovic, Dufour).

Parmi ces variétés de dimension 3 hyperboliques, les groupes de celles qui fibrent sur le cercle sont des exemples emblématiques de groupes hyperboliques obtenus comme produit semi-direct de groupe hyperbolique (de surface) par Z, pour un automorphisme pseudo-Anosov.

Un autre exemple : les produits semi-directs de groupes libres par Z, pour des automorphismes irreductibles atoroidaux sont aussi hyperboliques (Brinkmann) et cubulables (Hagen Wise).

Nous plaçons ces deux exemples emblematiques dans le cadre de tous les produits semi-directs par Z de groupes hyperboliques qui seraient encore hyperboliques. Tous ceux là (les suspensions hyperboliques de groupes hyperboliques) sont cubulables, comme nous le montrons.

La stratégie est « relative », c’est une récurence qui utilise le cas des pseudo-Anosov comme initialisation, et qui tire le plus profit possible des situations d’automorphismes irréductibles. Dans l’exposé on illustrera l’idée générale de la cubulation « irreductible » et de la recurrence.

C’est un travail en commun avec Suraj Krishna MS et Jean Pierre Mutanguha.