La mesure de Mahler d'un polynôme à coefficients entiers est sa moyenne géométrique sur le cercle unité, et le célèbre problème de Lehmer consiste à déterminer si ces mesures de Mahler admettent un point d'accumulation autour de 1.

En 2019, Lück a généralisé ce problème de Lehmer aux déterminants de Fuglede-Kadison associés à un groupe quelconque, qui peuvent être vus comme des variantes non commutatives des mesures de Mahler des polynômes. Les constantes de Lehmer d'un groupe mesurent alors l'écart possible autour de 1 des déterminants de Fuglede-Kadison associés à ce groupe.

Les déterminants de Fuglede-Kadison sont évalués sur des opérateurs équivariants de dimension infinie, et sont difficiles à calculer en général. Dans cet exposé, je présenterai de nouvelles valeurs de déterminants de Fuglede-Kadison sur les groupes libres, obtenues par une combinatoire sur des graphes de Cayley. En corollaire, je présenterai une nouvelle borne sur les constantes de Lehmer pour une grande classe de groupes, ce qui répond partiellement à la question de Lück.

Si le temps le permet, je présenterai des bornes encore plus fines sur les constantes de Lehmer pour certains groupes de 3-variétés hyperboliques, obtenues via les connections entre déterminants de Fuglede-Kadison, torsions L2 et volumes hyperboliques.