Il était une fois une mesure de probabilités m sur X un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Ce conte est une belle histoire d'interactions entre la dynamique, la géométrie, et bien sûr la théorie de la mesure. Nous allons voir comment on peut associer à m un intervalle dans X, ou plus généralement dans une compactification X, celle de Roller. Pour le cas des arbres simpliciaux, cela a était fait par Monod et Shalom. Avec Chatterji et Iozzi nous l'avons étendu au cas cubique. Dans cet exposé nous verrons que cette morale nous en apprend plus : un groupe moyennable qui agit sur X a toujours dans la compactification de Roller une orbite finie de cardinalité une puissance de 2, ou la puissance est au plus la dimension de X.